Практическая работа 4

4. Корреляционный анализ

Корреляционный анализ в научных исследованиях применяется для установления прямолинейной связи между варьирующими признаками. После установления закона распределения можно переходить к корреляционному анализу.

4.1. Параметрические показатели связи

Сопряженность между переменными величинами X и Y можно установить с помощью показателя, который называют эмпирическим коэффициентом корреляции r. Коэффициент корреляции нашел широкое применение в практике, но он не является универсальным показателем корреляционных связей, так как способен характеризовать только линейные связи. При наличии нелинейной зависимости между варьирующими признаками применяют другие показатели связи – непараметрические критерии.

4.2. Установление наличия связи между выборками.

В исследованиях редко приходится иметь дело с функциональными связями, когда каждому значению одной величины соответствует строго определенное значение другой величины. Чаще приходится анализировать такие соотношения, когда каждому значению признака Х соответствует не одно, а множество значений признака Y. Такого рода зависимости называются стохастическими (вероятностными) или корреляционными [5].

Функциональные связи легко обнаружить и измерить на единичных и групповых объектах, однако этого нельзя проделать с корреляционными связями, которые можно изучать только на групповых объектах методами математической статистики. Корреляционная связь между признаками бывает линейной и нелинейной, положительной и отрицательной. Задача корреляционного анализа сводится к установлению направления и формы связи между варьирующими признаками, измерению ее тесноты и, наконец, к проверке достоверности выборочных показателей корреляции.

По форме корреляционные зависимости могут быть как прямолинейными, так и криволинейными. Под прямолинейной корреляционной зависимостью между двумя признаками Х и Y понимают такую зависимость, которая носит линейный характер и выражается уравнением прямой линии. Мы будем рассматривать только линейную корреляционную зависимость.

В качестве числового показателя парной линейной корреляции, характеризующего тесноту и направление связи, используется коэффициент корреляции -r. Он является безразмерной величиной, изменяющейся в области от 0 до  1 (-1  r  +1). Положительные значения r указывают на прямую связь ( с увеличением Х увеличивается Y(х)), отрицательные значения r - на обратную ( с увеличением Х уменьшается Y(х)). Чем | r | ближе к единице, тем теснее связь. При | r | равной единице связь является функциональной. Для различного рода задач считается, что при | r |  0.30 теснота связи слабая, при 0.30  | r |  0.70 - средняя, при | r |  0.70 - тесная.

Пример. На конкретном примере проведем корреляционный анализ. Оценим тесноту связи между Х и Y ( Х - урожайность на одном участке за 10 лет, Y - урожайность на втором участке за 10 лет).

1. Определим коэффициент корреляции, для чего вначале определим средние квадратические отклонения _х и _y по следующим формулам

(4.1)

= 0.94 ;

(4.2)

= 0.91

- далее определяем ковариацию по следующей формуле

(4.3)

= -1.54/10 = -0.154

для расчета ковариации проведем промежуточные расчеты в следующей таблице

Таблица 4.1 Исходные данные и промежуточные расчеты

Хi	Yi	Хi -	Yi -	(Xi -)(Yi -)
16.8	16.4	0.1	-1.5	-0.15
15.5	17.1	-1.2	-0.8	0.96
15.8	18.4	-0.9	0.5	-0.45
17.0	18.9	0.3	1.0	0.3
17.5	17.4	0.8	-0.5	-0.4
18.4	18.2	1.7	0.3	0.51
15.2	19.6	-1.5	1.7	-2.55
16.9	17.7	0.2	-0.2	-0.04
17.1	18.4	0.4	0.5	0.2
16.6	17.1	-0.1	-0.8	0.08
166.8	179.2			-1.54

далее определяем коэффициент корреляции по следующей формуле

(4.4)

= -0.154/ 0.85 = -0.19;

или по формуле

(4.5)

=,

Для расчета по формуле 4.5 используем следующую таблицу

Таблица 4.2 Исходные данные и вспомогательные расчеты

N	Х	Y	ХY	X2	Y2
1	16.8	16.4	275.5	282.2	269.0
2	15.5	17.1	265.1	240.2	292.4
3	15.8	18.4	290.7	249.6	338.6
4	17.0	18.9	321.3	289.0	357.2
5	17.5	17.4	304.5	306.2	302.8
6	18.4	18.2	334.9	338.6	331.2
7	15.2	19.6	297.9	231.0	384.2
8	16.9	17.7	299.1	285.6	313.3
9	17.1	18.4	314.6	292.4	338.6
10	16.6	17.1	283.9	275.6	292.4
	166.8	179.2	2987.5	2790.4	3219.7

Полученные расчеты показывают, что между Х и Y связь отсутствует, коэффициент корреляции  0.3.

Далее необходимо оценить коэффициент корреляции на значимость. Эмпирический коэффициент корреляции, как и любой другой выборочный показатель, служит оценкой его генерального параметра  и как величина случайная сопровождается ошибкой. Оценим эту ошибку по следующей формуле

(4.6)

=0.35, отношение выборочного коэффициента корреляции к своей ошибке служит критерием для проверки нулевой гипотезы т. е. предполагают, что в генеральной совокупности этот показатель равен 0,  = 0.

Определим критерий Стьюдента фактический

t_ф = r/S_r (4.7)

t_ф = r/S_r = -0.19/0.35 = -0.54;

Определяем табличный или критический критерий Стьюдента t_st = 2.31 (по числу степеней свободы k = n-2 и уровню значимости а = 5% по таблице в приложении 8).

Далее оцениваем нулевую гипотезу: если t_ф  t_st, то нулевая гипотеза принимается, следовательно коэффициент корреляции не значимый.

Достоверность выборочного коэффициента корреляции можно проверить по специальной таблице приложения 9, в которой содержатся критические точки коэффициента корреляции r_st. Критический коэффициент корреляции определяется по уровню значимости а = 5% и числу степеней свободы k = 10 – 2 = 8. Получаем, что r_st = 0.63, следовательно и этот метод оценки коэффициента корреляции на достоверность подтверждает, что коэффициент корреляции не значимый.

Задание. Для двух выборок X и Y рассчитать коэффициент корреляции, оценить его достоверность двумя методами, оценивая нулевую гипотезу по критерию Стьюдента и критическому коэффициенту корреляции. По полученным результатам оценить наличие связи между этими выборками. Исходные данные из предыдущих работ.