3.1 Применение коэффициентов асимметрии и эксцесса для проверки нормальности распределения

Для того чтобы точнее оценить генеральные параметры по выборочным характеристикам, необходимо знать закон распределения выборок т.е. необходимо определить нормальность распределения сравниваемых выборок [5].

Предположение о законе распределения можно проверить с помощью коэффициентов асимметрии As и эксцесса Ex. При нормальности распределения эти показатели равны нулю. В действительности такое равенство практически не наблюдается. Выборочные показатели As и Ex, определяемые по формулам:

(3.1)

(3.2)

являются случайными величинами, которые сопровождаются ошибками. В качестве критерия нормальности распределения служат As и Es к их ошибкам репрезентативности, которые определяют обычно по следующим приближенным формулам:

; (3.3)

(3.4)

Более точно ошибки коэффициентов As и Es определяют по формулам

(3.5)

(3.6)

В связи с тем, что выборочные распределения коэффициентов асимметрии и эксцесса в случае нормальности распределения признака при не слишком больших объемах выборок (особенно это характерно для Ех) могут быть довольно далеки от нормального вида, использование квадратических ошибок для Аs и Es при n, меньшем нескольких сотен наблюдений, оказывается рискованным. Поэтому более предпочтительным следует считать проверку нормальности распределения по значениям этих коэффициентам с применением таблиц, приведенных в приложении 6,7. В них указаны критические точки коэффициентов As и Es для разных уровней значимости ά и объемов выборки n. Если коэффициенты As и Es превосходят критические точки, содержащиеся в этих таблицах, гипотеза о нормальности распределения должна быть отвергнута.

Рассмотрим пример:

Даны две выборки X и Y (урожайность за десять лет на двух участках)

Оценим, подчиняются ли выборки X и Y нормальному закону Гаусса? Оценим это с помощью коэффициентов асимметрии As и эксцесса Es. Исходные данные и промежуточные расчеты

представлены в следующей таблице

Таблица 3.1 Исходные данные и промежуточные расчеты для Х

Хi	Хi -	(Хi - )2	(Хi - )3	(Хi - )4
16.8	0.1	0,01	0,0	0,0
15.5	-1.2	1,44	-1,73	2,07
15.8	-0.9	0,81	-0,73	0,66
17.0	0.3	0,09	0,03	0,01
17.5	0.8	0,64	0,51	0,41
18.4	1.7	2,89	4,91	8,35
15.2	-1.5	2,25	-3,38	5,06
16.9	0.2	0,04	0,01	0,00
17.1	0.4	0,16	0,06	0,03
16.6	-0.1	0,01	0,0	0,0
∑166.8		∑8,34	∑-0,32	∑16,59

Таблица 3.2 Исходные данные и промежуточные расчеты для Y

Yi	Yi -	(Yi -)2	(Yi -)3	(Yi -)4
16.4	-1.5	2,25	-3,38	5,06
17.1	-0.8	0,64	-0,51	0,41
18.4	0.5	0,25	0,12	0,06
18.9	1.0	1,0	1,0	1,0
17.4	-0.5	0,25	-0,12	0,06
18.2	0.3	0,09	0,03	0,01
19.6	1.7	2,89	4,91	8,35
17.7	-0.2	0,04	-0,01	0,00
18.4	0.5	0,25	0,12	0,06
17.1	-0.8	0,64	-0,51	0,41
∑179.2		∑8,30	∑1,65	∑15,42

Рассчитаем среднюю урожайность на одном и втором участках:

; ,

далее выборочные дисперсии:

; ,

далее среднеквадратические ошибки:

; ,

Далее третий центральный момент:

; ;

Далее четвертый центральный момент:

; ;

Далее коэффициент асимметрии:

; ,

Далее – коэффициент эксцесс:

; ,

Определяем критические значения коэффициента асимметрии (приложения 6) и эксцесса (приложения 7), по уровню значимости ά =5% и объему выборки n = 10.

As_кр= 0,711; Es_кр=0,907

Оцениваем нулевую гипотезу по коэффициенту асимметрии для двух выборок:

As_xф = 0,04 < As_кр = 0,711 нулевая гипотеза принимается,

As_yф = 0,21 < As_кр = 0,711 нулевая гипотеза принимается.

Вывод: Выборки X и Y подчиняются нормальному закону.

Оцениваем нулевую гипотезу по коэффициенту эксцесс для этих же двух выборок Ех_хф= - 0,79 < Ех_кр= 0,907 (оцениваем по модулю), нулевая гипотеза принимается, следовательно выборка X подчиняется нормальному закону Гаусса; Ех_yф= - 0,95 > Ех_кр= 0,907 (по модулю), следовательно нулевая гипотеза отвергается и выборка Y не подчиняется нормальному закону Гаусса. В тех случаях, когда получаются противоположные выводы, то необходимо проверить все расчеты, если все верно, то оценить закон распределения третьим методом по критерию хи-квадрат.