- •Элементы непрерывной математики
- •§1. Переменные величины и функции.
- •§2. Пределы последовательности и функции.
- •§3. Свойства пределов. Раскрытие неопределенностей вида и
- •§4. Предел отношения при.
- •§7. Сравнение бесконечно малых.
- •§8. Непрерывность функции.
- •§9. Асимптоты.
- •§10. Число e.
- •§1. Производные алгебраических и тригонометрических функций.
- •§2. Производная сложной функции.
- •§3. Касательная и нормаль к плоской кривой.
- •§4. Случаи недифференцируемости непрерывной функции.
- •§5. Производные логарифмических и показательных функций.
- •§11. Параметрические уравнения кривой
- •2.Интегрирование подстановкой и непосредственное
- •Интегрирование по частям
- •4. Интегрирование тригонометрических функций
- •5. Интегрирование рациональных алгебраических функций
- •6. Интегрирование некоторых иррациональных алгебраических функций
- •7. Интерирование некоторых трансцендентных функций
- •8. Интегрирование гиперболических функций. Гиперболические подстановки
- •Вычисление определенного интеграла
- •Вычисление площадей
- •Среднее значение функции
- •Частные производные, полные дифференциалы и их приложения
- •Функции двух переменных и их геометрическое изображение
- •Частные производные первого порядка
- •Полный дифференциал первого порядка
- •Производные сложных функций
- •5. Производные неявных функций
- •7. Интегрирование полных дифференциалов
- •Особые точки плоской кривой
- •Огибающая семейства плоских кривых
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Скалярное поле. Линии и поверхности уровней. Производная в данном направлении. Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •1) В точке (1;1;3),
- •2) В точке
- •3) В точке
- •Дифференциальные уравнения
- •Понятие о дифференциальном уравнении
- •Дифференциальое уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории
- •Дифференциальные уравнения первого порядка:
- •Однородное, 2) линейное, 3) бернулли
- •Дифференциальные уравнения, содержащие дифференциалы
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейное дифференциальное уравнение эйлера
Огибающая семейства плоских кривых
Кривая называется огибающей семейства кривых , если:
она касается каждой кривой семейства;
каждая ее точка является точкой ее касания с кривой семейства, отличной от нее самой.
Огибающая семейства кривых , если она существует, находится исключением параметраиз уравнений
и
Может, однако, случится, что полученная этим способом кривая будет не огибающей, а геометрическим местом особых точек кривых семейства.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть поверхность задана уравнением ; возьмем на ней точку
Уравнения нормали к поверхности этой точки будут:
(10.1)
Уравнение касательной плоскости:
(10.2)
В уравнениях (10.1) и (10.2) - текущие координаты нормали или касательной плоскости.
Вектор назовем нормальным вектором поверхности.
Если на поверхности есть точка, в которой то она называется особой. В такой точке нет ни касательной, ни плоскости, ни нормали к поверхности.
Скалярное поле. Линии и поверхности уровней. Производная в данном направлении. Градиент
Уравнение определяетв каждой точкенекоторой области, которая называетсяполем скаляра . Вдоль каждой из линийгде- постоянные, скаляростается постоянным и меняется только при переходе точкис одной линии на другую. Эти линии называютсяизолиниями (изотермами, изобарами и т.п.) илилиниями уровней.
Уравнение определяетполе скаляраи в некоторой части трехмерного пространства.Изоповерхностями, илиповерхностями уровней будут:
…
Пусть точка перемещается по прямойсо скоростьюТогда скалярбудут изменятся со скоростьюгде-нормальный векторповерхности, а- единичный вектор направления 1.
Производная
называется производной от функциив данном направлении .
Градиентомскаляраназывается вектор
Градиент есть вектор скорости наибыстрейшего изменения скаляра.
Экстремум функции двух переменных
Необходимые условия. Функция может иметьэкстремумтолько в точках, в которыхиэти точки называютсякритическими.
Достаточные условия. Обозначим через изначения производных
в критической точке
Тогда если:
1. топри,при
2. то экстремума нет;
3. то экстремум может быть, а может и не быть (сомнительный случай).
Условный экстремум. Чтобы найти экстремум функции при условии, чтоисвязаны уравнениемсоставим вспомогательную функцию
Координаты экстремальной точки должны удовлетворять трем уравнениям:
Из которых и находятся и
Задачи
Построить геометрическое изображение однозначной функции , определяемой уравнением, положенной в областии отрицательной вне ее. Указать линию ее разрыва.
Показать, что уравнение определяеткак бесчисленное множество однозначных функцийи, из которых две непрерывны. Указать область определения всех этих функций, положительной в областии отрицательной вне ее.
Доказать, что если то
указать области определения функций:
1) 2)3)4)5)6)
5. Показать, что уравнение определяеткак бесчисленное множество функцийи, из которых две непрерывны. Указать область определения всех этих функций и построить геометрическое изображение положительной непрерывной функции. Привести пример однозначной, но разрывной функции, определяемой тем же уравнением
6. Доказать, что если , то
7. Доказать, что если , то
8. Доказать, что если то
9. Доказать, что если то
10. Катеты прямоугольного треугольника, измеренные с точностью до 0,1 см, оказались равными 7,5 см и 18 см. Определить абсолютную погрешность при вычислении гипотенузы.
11. При деформации цилиндра его радиус увеличился с 20 см до 20,5 см, а высотауменьшилась со 100 см до 98 см. найти приближенно изменение объемапо формуле
12. Найти значение идля функции, когдаизменяется от 2 до 2,1; а- от 1 до 0,9.
13. Подсчитать приблизительно изменения функции когдаизменяется от 5 до 4,5; а- от 3 до 3,3.
14. Найти из уравнений:
1)
2)
15. Доказать, что если , где, то
16. Доказать, что если где, то
17. Пусть . Выразитьичерези, если 1)
2)
18.
Найти угловой коэффициент касательной к кривой.
19. Доказать, что если , то
20. Показать, что дифференциальному уравнению удовлетворяет неявная функция, определяемая уравнением (конических поверхностей)
21. Найти из уравнений:
22. Показать, что функция при любых дважды дифференцируемых функцияхиудовлетворяет дифференциальному уравнению
23. Пусть Найтии.
24. Найти частные производные второго порядка функции
25. Доказать, что если , то
26. Определить области расположения, точки пересечения с осями координат, особые точки кривых и построить кривые:
1) 3)
2) 4)
27. Найти точки пересечения с осями координат, особую точку и симптому кривойи построить кривую.
28. Определить области расположения, особые точки и асимптоты кривых:
1) 4)
2) 5)
3) 6).
29. Найти огибающую семейства парабол, имеющих ось симметрии, параллельную оси , и проходящих через точкипри различных.
30. Отрезок постоянной длинны скользит своими концами по координатным осям. Найти огибающую семейства таких отрезков.
31. Найти огибающую семейства окружностей, проходящих через начало координат и имеющих центр на параболе
32. Из начала координат выпускается снаряд с начальной скоростью под угломк оси. Найти огибающую семейства траекторий при различных.
33. Найти огибающую 1) семейства прямых при постоянном; 2) семейства прямых3) семейства кубических парабол
34. Написать уравнения касательной плоскости к поверхности: