§11. Параметрические уравнения кривой

Пусть кривая задана параметрическими уравнениями и . Обозначая точками производные по параметру, найдем:

.

Задачи

1. Построить график функции:

на отрезке [-2,5];

2. Построить графики функции:

1). ; 2).;

3. Найти область определения вещественных значений функций:

1). ; 2).;

4. Доказать что lim_n→ 0.666…6 =, составив разности;; …;.

5. Пусть a_n– внутренний угол правильногоn– угольника. Доказать, чтоlim_n→ a_n = .

6. На продолжении отрезка АВ = а справа взята точка М на расстоянии ВМ=x. Найти .

Найти пределы:

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. Капля испаряется так, что её радиус стремится к 0. Определить порядки бесконечно малых поверхности и объёма капли относительно её радиуса.

14. Определить порядки бесконечно малых: 1). ; 2).sin2x-sinx относительно бесконечно малойx.

15. Доказать, что при x→0: 1)arctgmxmx; 2).

16. Указать точку разрыва функции , найтиlim_n→-2-0 y,lim_x→-2+0y, lim_x→и построить график по точкамx= -6, -4, -3, -1, 0, 2.

17. Найти точки разрыва и построить графики функций: 1) ; 2).

18. Сколько однозначных функций задано уравнением x² + y² = 4? Определить из них: 1) две непрерывные на отрезке; 2) ту из них, отрицательна на отрезкеи положительна для всех остальных допустимых значенийx. Построить график и указать разрывы последней функции.

19. Построить кривые: 1) ; 2)и параболы, к которым эти кривые асимптотически приближаются.

20. Найти асимптоты кривых: 1) ; 2)и построить кривые по точкам.

21. Найти асимптоты кривых и построить кривые: 1) ; 2).

Найти пределы:

22. .

23. (положитьcos²2x = a).

24. .

Найти производные функций:

25. ;

26. ; найти;

27. ; найти,и;

28. ;

29. ;

30. ; найти;

31. В какой точке параболы нужно провести касательную, чтобы она была перпендикулярна к биссектрисе первого координатного угла?

32. Найти длину подкасательной, поднормали, касательной и нормали кривой в точкеx= 1.

33. Какие углы образуют парабола с её хордой, абсциссы концов которой равны 2 и 4?

34. На отрезке [0;] построить график функциии написать уравнения касательных к кривой в угловой точке.

35. На отрезке [-2;0] построить график функции и написать уравнения касательных к кривой в точкеx= -1.

36. На отрезке [-1;5] построить график функции и написать уравнения касательных в угловой точкеx= 0 и найти угол между ними.

Найти производный функции:

37. ;

38. ; найти;

39. Написать уравнение касательной к кривой в точке пересечения её с осьюОу. Построить кривую, касательную и асимптоту кривой;

40. ;

41. ;

42. ; найти;

43. Линия называется цепной. Написать уравнение нормали к этой линии в точкеx = a. Построить кривую и нормаль.

44. Написать уравнение касательной к кривой в точкеx = -2. Построить кривую и касательную к ней.

45. Доказать, что проекция ординаты любой точки цепной линии на её нормаль есть величина постоянная, равнаяа.

46. ; показать, что;

47. ; найти;и;

48. По формуле Лейбница найти производную третьего порядка функции: ;

49. ; найтиприt = 0;

50. ; найтиприt = 1;

51. ; найтипри;

Найти дифференциалы функций:

52. ;

53. ;

54. ;

55. Написать уравнение касательной к циклоиде ,в точке. Построить кривую и касательную.

56. Написать уравнение касательной к развертке круга ,в точке.

57. Найти из уравнения:

;;

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1. НЕОПРЕДЕЛЛЕНЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗЛОЖЕНИЕМ

Неопределенным интегралом называется функция, содержащая произвольное постоянное, дифференциал который равен подынтегральному выражению, т.е.

,

если

.

Таблица основных интегралов:

Свойства неопределенного интеграла:

I. III.

II. IV.

Интегрирование разложением есть приведение данного интеграла (по свойствуIV) к сумме более простых интегралов.