2.Интегрирование подстановкой и непосредственное

Положив ,, получим

.

Такое преобразование интеграла называется интегрированием подстановкой.

В простых случаях введение новой переменной рекомендуется выполнить в уме, применяя следующие преобразования дифференциала.

и т.п.,

и обозначая мысленно выражение в скобках через . Такой прием интегрирования называютнепосредственным.

2. Интегрирование по частям

Из формулы дифференциала произведения получается формула интегрирования по частям:

Эта формула чаще всего применяется тогда, когда по интегралом имеется произведение алгебраической и трансцендентной функции, например илиПри этом запринимается функция, которая дифференцированием упрощается, а за- та часть подынтегрального выражения, содержащая, интеграл от которой известен или может быть найден.

Например, в интеграле занужно принять(а не), а в интегралезанужно принять(а не).

4. Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы от квадратов и других четных степеней синуса и косинуса находят, применяя следующие формулы понижения степени:

Интеграл находятся по правилу ‘интегралы от квадратов’, еслииоба четные, и по правилу ‘интегралы от кубов’, еслиинечетно.

5. Интегрирование рациональных алгебраических функций

Если подынтегральная дробь неправильная, то нужно исключить из нее целое выражение.

Знаменатель правильной дроби разлагается на множители вида и, а правильная дробь разлагается на сумму элементарных дробей следующим образом:

где - полином степени ниже степени знаменателя.

6. Интегрирование некоторых иррациональных алгебраических функций

Интеграл где- рациональная функция, находится подстановкойа интеграл более общего вида- подстановкой.

Интеграл находится подстановкой.

Тригонометрические подстановки. К рациональному тригонометрическому виду приводятся интегралы:

- подстановкой

- подстановкой

Из интеграла можно выделить алгебраическую часть по формуле

, где. Коэффициентынаходятся после дифференцирования равенства и освобождения его от знаменателя сравниванием коэффициентов слева и справа при одинаковых степенях.

Интеграл от дифференциального бинома берется в конечном виде в трех случаях:

когда- целое число, разложением;

когда- целое число, подстановкой;

когда- целое число, подстановкой, гдеs– знаменатель дроби.

7. Интерирование некоторых трансцендентных функций

К рациональному алгебраическому виду приводятся интегралы:

- подстановкой

- подстановкой

- подстановкой

8. Интегрирование гиперболических функций. Гиперболические подстановки

Интегралы от квадратов и других четных степеней инаходятся с применением формул:

Интегралы от нечетных степеней и.

Гиперболические подстановки иногда применяются при нахождении интегралов вида:

- подстановкой

- подстановкой

При этом: если то

если , то

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1. Вычисление определенного интеграла

Пусть на отрезке определена функцияРазобьем отрезокначастей точкамиИз каждого интервалавозьмем произвольную точкуи составим сумму, гдеСумма виданазываетсяинтегральной суммой, а ее предел приесли он существует и конечен, называетсяопределенным интегралом от функциив пределах отдои обозначается:

Функция в этом случае называетсяинтегрируемой на отрезке.

Для интегрируемости достаточно, чтобы на отрезкефункция быланепрерывна или же имела конечное число конечных разрывов.

Пусть непрерывна на. Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл

(1.2)

и имеет место формула

(1.3)

т.е. определенный интеграл неопределенной функцииравен разности значений первообразной функции (или неопределенного интеграла) при верхнем и нижнем пределах.

Формула (3) называется формулой Ньютона – Лейбница.