§1. Переменные величины и функции.

1^о.Отрезки и интервалы.Множество чиселх, удовлетворяющих неравенствама < х < b, называетсяинтервалом и обозначается (a,b). Множество чиселx, удовлетворяющих неравенствамa x b, называетсяотрезком и обозначается [a,b].

Эквивалентные неравенства (при a > 0)

x²<a², или–a < x < a

определяют интервал, симметричный относительно нуля.

2^о.Переменные величины и функции. Если каждому значению переменнойxпоставлено в соответствие одно число, то переменнаяy, определяемая совокупностью этих чисел, называется однозначнойфункцией x. Переменнаяx называется при этомаргументом, а данная совокупность значений аргумента –областью определения функции.

То, что y есть функцияx, символически записывают в видеy = f(x), илиy = F(x), илиy = (x) и т.п. Символf(x) илиF(x) и т.п. обозначает закон соответствия переменныхx иy, в частности, он может означатьсовокупность действий или операций, которые нужно выполнить надx, чтобы получить соответствующее значениеy.

§2. Пределы последовательности и функции.

Бесконечно малые и бесконечно большие.

1^о.Числовая последовательность. Пусть каждому натуральному числуn = 1,2,3,… по некоторому закону поставлено в соответствие числоx_n. Тогда говорят, что определенапоследовательность чиселx₁,x₂,x₃…или, короче, последовательность {x_n} = {x₁,x₂,x₃…}. Отдельные числа последовательности {x_n} называются еёэлементами. Говорят ещё, что переменнаяx_n пробегает значение последовательности {x_n}.

2^о. Предел последовательности (предел переменной). Число,а называетсяпределом последовательности {x_n} или пределом переменнойx_n (обозначаетсяx_n а), если для всякого> 0 найдётся зависящее отчислоn₀ такое, что |x_n –а| <для всех натуральныхn > n₀. Интервал (a -,a + ) называется-окрестностью числа а (или точкиа). Таким образом,x_n а обозначает, что для всякого> 0 найдётся такое числоn₀, что для всехn > n₀ числа x_n будут находиться в- окрестности числаа.

3^о.Предел функции. Пусть функцияf(x) определена в некоторой- окрестности точкиа, за исключением, быть может, самой точкиа. Говорят, что числоb являетсяпределом функции f(x) приx а (пишутf(x) bприx а илиlim _{x  а} f(x)=b), если для любого> 0 существует зависящее отчисло> 0 такое, что | f(x)-b| <при 0 < |x-a| <. Аналогичноlim _{x  а} f(x)=b, если для всякого> 0 существует зависящее отчислоN такое, что | f(x)-b| <при |x| > N. Употребляется также записьlim _{x  а} f(x)=, которая обозначает, что для всякого числаA> 0 существует зависящее отAчислотакое, что |f(x)| > A при 0 < |x-a| <.

Если x → a и при этомх < ато пишутx → a – 0; аналогично, еслиx → a и при этомх > а, то пишутx → a + 0. Числаf(a - 0) = lim_{x → a – 0} f(x) иf(a + 0) = lim_{x → a + 0} f(x) называются соответственнопределом слевафункцииf(x)в точкеа ипределом справафункцииf(x)в точкеа. Для существования предела функцииf(x)при x → a необходимо и достаточно, чтобы былоf(a - 0) = f(a + 0). Вместоx → 0 – 0 иx → 0 + 0пишутx → – 0 иx → + 0 соответственно.

4^о Бесконечно малые. Еслиlim_{x → a}(х) = 0, т.е. если |(х)| при0 |х - а|(), то функция(х)называетсябесконечно малойпри x → a. Аналогично определяется бесконечно малаяa(х) приx → .

5^о Бесконечно большие. Если для любого сколь угодно большого числаN существует такое(N), что при0 |х - а|(N) выполнено равенство |f(x)| >N, то функцияf(x) называетсябесконечно большой приx → a. Аналогично определяется бесконечно большаяf(x) приx → .