1) В точке (1;1;3),

2) В точке

3) В точке

35. Показать, что касательная плоскость к поверхности в точке на нейопределяется уравнением

36. Найти углы с осями координат нормали к поверхности в точке (2;2;0).

37. Найти расстояние начала координат от касательной плоскости к коноиду в точке

38. Найти производную функции в точке (1;1;1) в направлениии найтив той же точке и его длину. Построить поверхности уровней.

39. Пусть Найти производнуюв направлении, составляющим с осями координат равные углы, в любой точке и точке (1;2;1).

40. Построить поверхности уровней скаляра , определитьна поверхности, проходящей через начало координат, и построить его в трех точках этой поверхности, в которыхи.

41. Пусть Найтии его длину.

42. Построить изоповерхности поля функции и найти производную отв точкев направлении радиус – вектора этой точки.

43. 1) В эллипс вписать равнобедренный треугольник с основанием, параллельным большой оси, так, чтобы площадь треугольника была наибольшей.

2) Ось расположена на границе двух сред. По какому пути должен пройти луч света из точкив точку, чтобы затратить на прохождение этого расстояния наименьшее время

Указание. Нужно найти минимум функции при условии,гдеи- скорости света в двух средах, аи- углы падения и преломления.

44. Найти экстремумы функций:

1)

2)

3)

4)

5) при условии, что

45. Найти наибольший объем прямоугольного параллелепипеда при условии, что длина его диагонали равна .

46. 1) На параболе найти точку, наименее удаленную от прямой.

2) В эллипс вписан прямоугольник наибольшей площади. Найти эту площадь.

47. Определить размеры конуса наибольшего объема при условии, что его боковая поверхность .

Дифференциальные уравнения

1. Понятие о дифференциальном уравнении

Обыкновенным дифференциальным уравнением n– го порядка называют уравнения вида

(1.1)

где - искомая функция. Любая функцияобращающая уравнение (1.1) в тождество, называетсярешениемэтого уравнения, а график этой функции –интегральной кривой. Если решение задано в неявном виде, то оно обычно называетсяинтеграломуравнения (1.1).

Функция содержащаянезависимых произвольных постоянных, называетсяобщимрешениемуравнения (1.1), если она называется его решением при любых значениях постоянных. Если эта функция задается в неявном виде выражениемто это выражение называетсяобщим интегралом уравнения (1.1). Придавая в выражении постояннымопределенные выражения постояннымполучаемчастное решение или соответственночастный интегралуравнения (1.1).

Обратно, имея семейство кривых, задаваемых уравнением и исключая параметрыиз системы уравнений

,

получим, вообще говоря, дифференциальное уравнение вида (1.1) для которого является общим интегралом.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

(1.2)

решив уравнение (1.2) относительно если это возможно, получим

(1.3)

Уравнение (1.3) определяет наклон интегральной кривой в точкет.е. определяетполе направленийинтегральных кривых.

Если в некоторой области функция непрерывна и имеет ограниченную частную производную, то оказывается, что через каждую внутреннюю точкуэтой области пройдет единственная интегральная кривая.

В такой области уравнение (1.3) имеет общее решение или общий интеграл, из которого можно найти единственное частное решение, или единственный частный интеграл, удовлетворяющийначальным условиям:при.