§ 7. Свойства вероятности

1. Вероятность достоверного события равна 1;.

2. Вероятность невозможного события равна нулю;

3. Вероятность любого события подчиняется неравенству;, т.к., т.е.

Вывод. Вероятность – это мера на множестве событий.

Определение 7.1. Вероятностью случайного события А называется численная мера возможности наступления этого события при некотором испытании.

§ 8. Элементы комбинаторики

Определение 8.1. Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих заданному множеству.

Иногда комбинаторику рассматривают как введение в теорию вероятностей, так как методы комбинаторики очень помогают в теории вероятностей осуществить подсчет числа возможных исходов и числа благоприятствующих исходов в разных конкретных случаях. В теории вероятностей принято говорить не о комбинациях, а о “выборках”. Поэтому мы будем говорить о “выборках”. В комбинаторике рассматриваются виды выборок – перестановки, размещения, сочетания.

Общие правила комбинаторики

Рассмотрим два общих правила, с помощью которых решается большинство задач комбинаторики, – правило суммы и правило произведения.

Правило суммы. Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а объект В – k способами, не такими, как объект А, то объект “или А, или В” можно выбрать (m+k) способами.

Пример 8.1. Допустим, в первом ящике находятся m разноцветных шариков, во втором ящике k разноцветных шариков. Произвольно из какого-нибудь ящика вынимают один шарик. Сколькими разными способами можно это сделать?

Из первого ящика шарик можно вынуть m разными способами, из второго ящика шарик можно вынуть k разными способами. Всего способов n=m+k.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать, независимо от выбора объекта А, k способами, то пары объектов и А и В” можно выбрать n=m·k способами.

Пример 8.2. Сколько можно записать двухзначных чисел в десятичной системе счисления?

Так как число двухзначное, то число десятков может принимать одно из девяти значений: 1;2;3;4;5;6;7;8;9.

Число единиц может принимать те же значения и может, кроме того, быть равным нулю. Если цифра десятков 1, то цифра единиц может быть 0;1;2;…;9, т.е. всего 10 значений.

Если цифра десятков 2, то вновь цифра единиц может быть 0;1;2;…;9. Поэтому всего получили 90 двузначных чисел (рис. 8.1).

9 строк n=9·10=90

10 Столбцов

Рис. 8.1

§ 9. Генеральная совокупность и выборки

Определение 9.1. Генеральная совокупность без повторений – это набор некоторого конечного числа различных элементов а₁; а₂; …; а_n-1; а_n.

Примером генеральной совокупности может служить студенческая группа из n человек.

Определение 9.2. Выборкой объема m, где m  n, называется произвольная группа из m элементов данной генеральной совокупности объема n.

Примером такой выборки является группа из m человек данной генеральной совокупности, изучающая английский или немецкий язык.

Каким минимальным признаком может отличаться одна выборка объема m от другой выборки такого же объема? Это их различие по крайней мере одним элементом или порядком расположения этих элементов.

Определение 9.3. Произведение натурального ряда чисел от 1 до n включительно называется факториалом числа n, т.е.

1·2·3·…·(n-1)·n=n!, причем принято считать 0!=1.

Определение 9.4. Размещениями без повторений из n элементов по m называются такие выборки, которые, имея по m элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения и обозначаются А.

Выведем формулу вычисления числа размещений . Пусть имеем n элементов. Первый элемент можно выбрать n способами. Второй элемент будем выбирать из оставшихся (n-1) элементов, поэтому второй элемент можно выбрать (n-1)способами. Тогда пары двух элементов можно образовать n·(n-1) способами. Третий элемент придется отбирать из оставшихся (n-2) элементов. Это можно сделать (n-2) способами. Тогда тройки элементов можно образовать n·(n-1)·(n-2) способами и так далее. Размещения по m элементов можно образовать

n·(n-1)·(n-2)·…·(n-(m-1))=n·(n-1)·(n-2)·…·(n-m+1) способами.

Значит

А=n·(n-1)·(n-2)·…·(n-m+1) (1)

Если правую часть этого равенства умножим и разделим на произведение 1·2·3·(n-m-1)·(n-m), то получим равенство:

(2)

Это две формулы для вычисления числа размещений из n по m элементов в каждом, но вторая формула более удобна для запоминания.

В случае, когда m=n, одно размещение от другого отличается только порядком расположения элементов.

Определение 9.5. Перестановками без повторений из n элементов называются такие выборки из n элементов по n в каждой, которые содержат все n элементов и отличаются друг от друга только порядком расположения элементов и обозначаются

Формула для вычисления числа перестановок из n элементов имеет вид

Р_n=1·2·3·…·(n-2)·(n-1)·n=n!.

Определение 9.6. Сочетаниями без повторений из n элементов по m называются такие выборки, которые, имея по m элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, отличающихся друг от друга хотя бы одним элементом, т.е. составом элементов, и обозначаются С.

При m=n C=1.

В каждом из Ссочетаний имеетсяm различных элементов, поэтому для каждого сочетания можно получить Р_m перестановок. Совокупность всех выборок, полученных путем построения всех перестановок на базе каждого из Ссочетаний, представляет собой число размещений А, т.е.

С ·Р_m=А,

откуда

– это формула для вычисления числа сочетаний из n элементов по m элементов в каждом.

Одним из примеров размещений без повторений является совокупность трехзначных номеров, в каждом из которых нет повторения цифр.

Примером перестановок без повторений является совокупность всех десятизначных номеров, в каждом из которых нет повторения цифр.

Примером сочетаний без повторений являются всевозможные варианты состава делегации в количестве, например, трех человек от коллектива, в котором 10 человек .

Таким образом имеем (рис. 9.1):

A

_m=m!

C

Рис. 9.1

Пример 9.1. Сколько разных стартовых шестерок можно образовать из числа 10 волейболистов?

Эти шестерки должны отличаться хотя бы одним игроком.

С=.

Можно составить 210 стартовых шестерок из команды в 10 человек.

Пример 9.2. Сколько разных пятизначных чисел можно составить из цифр 1;2;3;4;5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

Эти пятизначные числа должны отличаться только порядком расположения цифр.

Р₅=5! = 1·2·3·4·5=120.

Из цифр 1;2;3;4;5 можно составить 120 пятизначных чисел.

Пример 9.3. В группе 30 человек. Необходимо направить трех человек на конференцию. Сколькими способами можно образовать такую тройку?

^.

Эти тройки делегатов должны отличаться хотя бы одним человеком. Тройку делегатов на конференцию можно образовать 4060 способами.