- •Теория вероятностей
- •Оглавление
- •§ 1. Предмет теории вероятностей
- •§ 2. События и их классификация
- •§ 3. Виды событий
- •§ 4. Операции над событиями
- •§ 5. Классическое понятие вероятности
- •§ 6. Статистическое понятие вероятности
- •§ 7. Свойства вероятности
- •§ 8. Элементы комбинаторики
- •Общие правила комбинаторики
- •10 Столбцов
- •§ 9. Генеральная совокупность и выборки
- •§ 10. Алгебра событий
- •§ 11. Формула полной вероятности, формула Байеса
- •§ 12. Повторные независимые испытания
- •Вероятнейшее число появлений события при повторных испытаниях
- •Локальная теорема Лапласа
- •Интегральная теорема Лапласа
- •§ 13. Случайные величины
- •Дискретная случайная величина
- •Свойства математического ожидания дискретной случайной величины
- •Числовые характеристики биноминального распределения
- •§ 14. Непрерывная случайная величина
- •§ 15. Законы распределения непрерывных случайных величин Равномерный закон распределения
- •Показательный или экспоненциальный закон распределения
- •§ 16. Нормальное распределение непрерывной случайной величины
- •§ 17. Частные случаи нормального закона распределения. Стандартное нормальное распределение
- •Распределение Пирсона
- •Распределение Стьюдента.
- •Вопросы для самопроверки
- •Индивидуальные задания по теме «Случайные события»
- •Решение типовых задач по теме «Случайные события»
- •Индивидуальные задания по теме «Случайные величины»
- •Задача 12
- •Литература
- •Ракитина Галина Александровна
- •Офсетная печать. Объем 5,5 п.Л. Тираж 110 экз. Заказ №
- •660017, Красноярск, ул. Ленина, 117
§ 5. Классическое понятие вероятности
Пример 5.1. Бросаем игральную кость. Выпасть могут или 1; или 2; …; или 6 очков. Каждое из этих событий элементарное, а вместе они образуют пространство элементарных событий. Но будут ли эти события равновозможными? Какие обстоятельства могут это обеспечить? Это довольно сложный вопрос. Мы, конечно, можем прикинуть, что кость будет предельно правильным кубом с центром тяжести в своем геометрическом центре; когда она сделана из идеально однородного материала; когда она подбрасывается наугад одинаковым способом, тогда эти элементарные события будут равновозможными.
Определение 5.1. Равновозможными элементарными событиями называются такие события, любое из которых по отношению к другим событиям не обладают никаким преимуществом появляться чаще другого при многократных испытаниях, проводимых в одинаковых условиях.
При одном испытании более возможно то событие, которому благоприятствует большее число равновозможных элементарных событий данного пространства. Эти числа и могли бы быть численной мерой возможностей появления различных событий, связанных с данным испытанием.
Пусть в одном ящике 10 черных шаров с четными номерами 2; 4; 6; …; 20, а в другом – 8 белых шаров, пронумерованных нечетными числами 1; 3; 5; …; 15. Наугад вынимаем из каждого ящика по одному шару. Пусть
событие А1 – номер черного шара, кратный 3;
событие В1 – номер белого шара не больше 5.
Какое из этих событий более возможно?
Событию А1 благоприятствуют 3 события: (6; 12; 18).
Событию В1 благоприятствуют 3 события: (1; 3; 5).
Число элементарных событий всего пространства, связанных с событием А1 – 10, а с В1 – 8. Составим отношение:
Р (А1)==0,3; Р(В1)==0,375.
Значит, событие В1 более возможное, чем А1, т.е. возможность появления некоторого события А удобно измерять отношением числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к общему числу исходов, вытекающих из условий данного испытания.
Определение 5.2. Вероятностью случайного события А называется отношение числа равновозможных элементарных событий m, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий n пространства Е, определяемого данным испытанием и обозначается: .
Это классическое определение вероятности случайного события.
Рис. 5.1
§ 6. Статистическое понятие вероятности
Пусть стрелок производит выстрел по мишени. Как оценить вероятность попадания? Если события «попадания» и «промах» равновозможны, то ответ получаем сразу Р («попадание»)=. Но они могут быть и неравновозможны.
Пусть 1-й стрелок постоянно посещает тренировки по стрельбе и каждый раз из сотни выстрелов попадает в мишень 80 – 90 раз. Второй стрелок на стрельбище бывает редко, поэтому из сотни выстрелов попадает только 30–40 раз. Как оценить возможности попадания в цель каждым стрелком? Из практики.
Произведено выстрелов, ℓ |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
Число попаданий 1-м стрелком, k1 |
8 |
17 |
26 |
33 |
41 |
49 |
56 |
65 |
72 |
81 |
Число попаданий 2-м стрелком, k2 |
3 |
5 |
8 |
12 |
15 |
19 |
22 |
25 |
28 |
31 |
0,8 |
0,85 |
0,866 |
0,825 |
0,82 |
0,816 |
0,8 |
0,8125 |
0,8 |
0,81 | |
0,3 |
0,25 |
0,266 |
0,3 |
0,3 |
0,316 |
0,314 |
0,3125 |
0,31 |
0,31 |
Эти отношения в какой-то мере зависят от числа произведенных выстрелов, т.е. отношение числа попаданий к числу произведенных выстрелов. Но видно, что это отношение для каждого стрелка колеблется около определенного числа: у 1 стрелка около 0,8; а у 2 стрелка около 0,3. Эти числа логично принять за оценку вероятности попадания. Эта оценка более надежна, чем больше проведено опытов с целью установления ее значения.
Определение 6.1. Статистической или относительной частотой события А называется отношение числа испытаний k, при которых событие А произошло, к числу ℓ испытаний, при проведении которых могло произойти или не произойти событие А, т.е. к общему числу испытаний и обозначается , т.е. индекс ℓ показывает зависимость статистической частоты от числа испытаний.
Практика показывает, что в случае, когда точно знаешь вероятностьв классическом понимании, при достаточно большем числе испытаний ℓ,.
Определение 6.2. Вероятностью события называется то неизвестное число, около которого сосредотачиваются значения статистических частот наступления событияпри возрастании числа испытаний.
Это статистическое определение вероятности случайного события.