Задача 12
Случайная
величина
задана функцией распределения
вероятностей
.
Найти:
1) вероятность попадания случайной
величины
в интервал
;
2) плотность распределения вероятностей
случайной величины
(т.е
);
3) математическое ожидание, дисперсию,
среднее квадратическое отклонение
случайной величины
;
4) Построить графики функций
и
.
Решение
типового примера. Случайная
величина
задана функцией распределения вероятностей
Найти:
1) вероятность попадания случайной
величины
в интервал
;
2) плотность распределения вероятностей
случайной величины
(т.е
);
3) математическое ожидание, дисперсию,
среднее квадратическое отклонение
случайной величины
;
4) Построить графики функций
и
.
Решение.
1)
Вероятность того, что случайная величина
примет значение, заключенное в интервале
,
равна приращению функции распределения
на этом интервале:
2)
Найдем плотность распределения
вероятностей случайной величины
по формуле
.
Получаем
3)
Математическое ожидание случайной
величины
находим по формуле
.
Имеем
.
Дисперсию находим по формуле
Имеем
Отсюда
.
4)
Построим график функции
.
|
x |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
|
F(x) |
0,1 |
0 |
0,1 |
0,44 |
1 |
при
– графиком является часть прямой,
совпадающая с осью абсцисс (рис. 1).
при
– графиком является часть параболы, с
вершиной в точке (-3; 0).
при
– графиком является часть прямой,
параллельная оси абсцисс.
Рис. 1
Построим
график функции плотности
.
при
– графиком является часть прямой,
совпадающей с осью абсцисс (рис. 2).
при
– графиком является часть прямой
.
|
x |
-3 |
0 |
|
|
0 |
0.66 |
Рис. 2
Литература
Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Н.Ш. Кремер. М.: ЮНИТИ, 2001, 543 с.
Зайцев, И.А. Высшая математика / И.А. Зайцев. М.: Высш. шк., 1998. – 409 с.
Созутов, А.И. Теория вероятностей / А.И. Созутов, В.П. Сакулин. Красноярск: Изд-во КрасГАСА 2001. 74 с.
Чубарев, А.М. Невероятная вероятность / А.М. Чубарев, В.С. Холодный. М.: Знание, 1976. 126 с.
Федорова, Е.Н. Теория вероятностей. Обучающая и контролирующая программа по теме «Нормальное распределение» / Е.Н. Федорова. М.: Изд-во ВСХИЗО, 1988. 31 с.
Федорова, Е.Н. Высшая математика. Обучающая и контролирующая программа по теме «Биноминальное распределение» / Е.Н. Федорова. М.: Изд-во ВСХИЗО, 1990. 27 с.
Федорова, Е.Н. Высшая математика. Обучающая и контролирующая программа по теме «Приближенные формулы биноминального распределения» / Е.Н. Федорова. М.: Изд-во ВСХИЗО, 1991. 26 с.
Малышева, О.Г. Основы теории вероятностей / О.Г. Малышева. Красноярск: Изд-во КрасГАУ, 1998. 64 с.
Раскин, В.Г. Высшая математика и математические модели в расчетах на ЭВМ / В.Г. Раскин, С.Н. Дементьев. М.: Изд-во ВСХИЗО, 1990. 124 с.
Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. М.: Высш. шк., 2001. 400 с.
Гурский, Е.И. Теория вероятностей с элементами математической статистики / Е.И. Гурский. М.: Высш. шк., 1971. 328 с.