§ 13. Случайные величины

Понятие случайной величины. Для начала рассмотрим следующие примеры, приводящие к понятию случайной величины.

Пример 13.1. При наблюдении движения городского транспорта заметили, что число машин, проезжающих за 1 час через некоторый перекресток, под влиянием случайных обстоятельств принимает случайные значения.

Пример 13.2. Наблюдая стрельбу из одного и того же орудия при одном и том же прицеле, заметили, что расстояние места разрыва снаряда от орудия по неизвестным причинам принимает различные значения.

Пример 13.3. Учет числа писем, поступающих в некоторое почтовое отделение, показывает, что ежедневное количество писем принимает случайный характер.

Примеры 13.1 – 13.3 имеют общие черты:

• в них идет речь о величине, которая характеризует случайные события;

• каждая из этих величин может принимать соответствующие значения в зависимости от случайного исхода испытания.

При многократных повторениях опыта значения этих величин могут быть несколько отличны от предыдущих, так как на результаты измерений действуют различные причины, которые делятся на два вида:

• основные, которые определяют главное значение результата опыта;

• второстепенные, которые обуславливают расхождение значений.

При измерении каждой из этих величин можно утверждать, что значения их будут принадлежать некоторым ограниченным множествам, и могут принять любое значение из этого множества, а вот какое именно значение – это случайность (рис. 13.1).

Рис. 13.1

Определение 13.1. Случайной величиной называют переменную величину, значение которой зависит от случайного исхода некоторого испытания.

Другими словами, случайной величиной называется переменная величина, которая в результате испытания может принять то или иное числовое значение из множества возможных значений, причем заранее неизвестно, какое именно.

Случайные величины обозначают заглавным буквами латинского алфавита, а их возможные значения – малыми соответствующими буквам:

X: x₁; x₂;….; x_n; Y: y₁; y₂;…; y_n.

Пусть случайная величина X зависит от последовательности элементарных событий A₁; A₂;….; A_n, которые заданы на пространстве элементарных событий Е.

Это пространство можно рассматривать как область тех элементарных событий, которые обуславливают появление некоторого значения случайной величины Х.

Определение 13.2. Случайная величина Х есть функция на пространстве элементарных событий.

Значит, случайная величина связана со случайным событием, причем случайное событие – это качественная характеристика испытания. Независимым случайным событиям соответствуют независимые случайные величины.

Рассматривается два типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Определение 13.3. Случайная величина называется дискретной, если все ее возможные значения изолированы друг от друга и их можно занумеровать, т.е. величина, которая может принимать значения некоторой конечной или бесконечной числовой последовательности.

Определение 13.4. Случайная величина называется непрерывной, если все ее возможные значения заполняют некоторый конечной или бесконечный интервал, т.е. которая может принимать значения всех действительных чисел некоторого промежутка.

Вероятность того, что случайная величина Х примет значения х₁; х₂;….; x_n обозначают p₁; p₂;….; p_n, т.е.

P (X=x_i) = p_i;

P (X=x₁) = p₁; P (X=x₂) = p₂;… P (X=x_n) = p_n;

P (X=x) = p.

Определение 13.5. Законом распределения случайной величины называется соответствие, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их соответствующими вероятностями.