Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Красноярский государственный аграрный университет

Теория вероятностей

Методические указания

Красноярск 2007

Рецензенты

Беляков А.А., канд. техн. наук, начальник ИВЦ КрасГАУ

Александрова С.В., канд. биол. наук, доцент кафедры высшей и прикладной математики КрасГАУ

Ракитина, Г.А.

Теория вероятностей: метод. указания / Г.А. Ракитина; Краснояр. гос. аграр. ун-т. – Красноярск, 2007. – 88 с.

В методических указаниях приведены теоретические основы теории вероятности, примеры решения типовых задач. Кроме того, предложены вопросы для самопроверки и индивидуальные задания по теме «Случайные величины».

Предназначены для студентов биологических специальностей.

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Красноярского государственного аграрного университета

©Красноярский государственный

аграрный университет, 2007

Оглавление

§ 1. Предмет теории вероятностей………………………………………………	4
§ 2. События и их классификация…………………………………………………..	5
§ 3. Виды событий………………………………………………………………………	6
§ 4. Операции над событиями……………………………………………………….	7
§ 5. Классическое понятие вероятности……………………………………………	10
§ 6. Статистическое понятие вероятности………………………………………..	11
§ 7. Свойства вероятности……………………………………………………………	12
§ 8. Элементы комбинаторики……………………………………………………….	12
§ 9. Генеральная совокупность и выборки………………………………………..	13
§ 10. Алгебра событий…………………………………………………………………	15
§ 11. Формула полной вероятности, формула Байеса…………………………	19
§ 12. Повторные независимые испытания…………………………………………	21
§ 13. Случайные величины…………………………………………………………..	31
§ 14. Непрерывная случайная величина…………………………………………..	44
§ 15. Законы распределения непрерывных случайных величин…………….	54
§ 16. Нормальное распределение непрерывной случайной величины….	56
§ 17. Частные случаи нормального закона распределения…………………..	64
Вопросы для самопроверки………………………………………………………..	68
Индивидуальные задания……………………………………..…………………..	71
Решение типовых задач……………………………………………………………	78
Литература……………………………………………………………………………..	98

§ 1. Предмет теории вероятностей

Многие явления в окружающем нас мире носят случайный характер, т.е. если явление наблюдать один раз, то нельзя точно предсказать, как оно будет протекать. Но если это явление наблюдать многократно при неизменных условиях, то оказывается, что протекание этого явления можно описать с помощью чисел, т.е. количественно.

Пример 1.1. 1) Если бросать монету один раз, то нельзя предсказать, что выпадет герб или цифра;

2) Посеянное зерно может дать всход, а может и не взойти.

Если это наблюдение проводить много раз, то можно заметить закономерность:

3) При подбрасывании монеты отношение числа выпадений герба (цифры ) к общему числу подбрасываний очень мало отличается от , чем больше наблюдений тем ближе к;

4) При посеве зерен отношение числа зерен, давших всходы, к общему числу посеянных зерен мало чем отличается от некоторого постоянного числа, с возрастанием общего числа зерен.

О результатах подобных наблюдений говорят, что они обладают свойством статистической устойчивости. Теория вероятностей дает математические модели для описания случайных явлений, которые могут быть воспроизведены при неизменных условиях сколько угодно много раз и обладающих свойством статистической устойчивости. Приступая к построению математической модели, учитывают главные наиболее существенные особенности изучаемого явления или процесса и отбрасывают те, которые на данном уровне исследований считаются второстепенными.

При подбрасывании монеты предполагаются только два возможных исхода – выпадение герба или цифры, возможность падения монеты на ребро или возможность ее исчезновения в результате испытания не учитываются. При высеве семян допущения состоят в том, что семена абсолютно одинакового качества высаживаются в одинаковых условиях. Различие в качестве, условия высева и произрастания не учитываются, т.е. считаются несущественными.

В действительности и качество семян, и условия их посева и произрастания одинаковыми не бывают.

При такой постановке задачи выводы, полученные в результате изучения моделей, будут отражать особенности явления лишь в главном, а при решении прикладных задач ответ на поставленный вопрос будет приближенным.

Определение 1.1. Теория вероятностей – это математическая наука о количественных закономерностях моделей случайных явлений независимо от их конкретной природы.

Теория вероятностей широко используется в теоретических и прикладных науках: физике, геодезии, теории автоматического управления и т.д. В частности, она служит теоретической базой математической и прикладной статистики, на основе которых осуществляется планирование и организация производства.