-
Работа 3.10 Туннельный эффект в вырожденном p-n-переходе.
Цель работы: Изучение элементов теории туннельного эффекта; исследование проявлений туннельного эффекта в туннельном диоде.
Теоретическое введение
Пусть в некоторой области пространства имеется потенциальный барьер
конечной высоты и ширины(рис 1,а). Тогда, по классическим представлениям, частица с энергией всегда преодолевает барьер, а частица с энергией, меньшей , от него зеркально отражается.
В действительности существуют отличные от нуля вероятности отражения частицы с энергией и проникновения (туннелирования) частиц с энергией.
2. Туннельный эффект может быть количественно исследован путем решения основного уравнения квантовой механики – уравнения Шредингера – с использованием свойств непрерывности волновой функции и ее производных в местах скачка потенциальной функции.
Общее решение стационарного уравнения Шредингера в одномерной, как на рис.1, а, задаче
(1)
где – потенциальная функция, имеет вид
,
а волновое число определяется из выражения
.
Вразличных областях пространства (области 1,2 и 3 на рис.1,а) уравнению (1) удовлетворяют различные волновые функции. Учитывая, что волновая функция испытывает «отражение» только в местах разрыва потенциальной функции, получаем следующие решения:
(2)
где
Факт «отражения» учитывается вторыми слагаемыми в выражениях (2). Эти члены можно интерпретировать как плоские волны, движущиеся в отрицательном направлении оси . В выражении (2) коэффициент, поскольку в области 3 отсутствует физическая причина для «отражения». Использовав граничные условия
получим следующие волновые функции в областях 1, 2 и 3 (с точностью до постоянного множителя ):
E
1 2 3 X a) l l 0 w б) X
Рис.
1
(3)
где .
Для дальнейшего анализа можно упростить выражение (3), приняв во внимание, что вероятность прохождения частиц сквозь потенциальный барьер невелика. Положив в (3)
получим
(4)
Анализ выражений (4) показывает, что частица с энергией , движущаяся слева в сторону потенциального барьера, может быть обнаружена как внутри барьера (область 2), так и справа от него (область 3). Количественно эффект туннелирования можно оценить, вычислив плотность вероятностиобнаружения частиц в каждой из областей пространства. Таким образом, получаем
(5)
Из выражения (5) видно, что вероятность туннельного прохождения частицей потенциального барьера существенно зависит от энергии частицы и ширины потенциального барьера. Качественные представления о виде функций (5) можно получить из рис.1,б. Вероятность туннелирования частиц принято характеризовать коэффициентом прохождения (коэффициентом прозрачности) потенциального барьера, который определяется отношением квадратов модулей волновой функции ψ3 и первого слагаемого из ψ1, описывающего падающую на барьер волну. Коэффициент прозрачности барьера описывается выражением
(6)
3.Туннельный эффект составляет физическую основу действия обширного класса полупроводниковых приборов – туннельных диодов (ТД). Принцип работы ТД можно пояснить с использованием представлений о зонной энергетической структуре твердого тела. В процессе образования твердого тела электронные энергетические уровни отдельных атомов из-за взаимодействия электронов смещаются и образуют энергетические полосы (разрешенные зоны), чередующиеся с зонами энергий, значений которых электроны принимать не могут (запрещенными зонами). Энергетическая ширина как разрешенной, так и запрещенной зоны имеет порядок ~10-19Дж. Энергетический зазор между отдельными уровнями разрешенной зоны около 10-41Дж, поэтому обычно считают, что энергетический спектр электронов внутри разрешенной зоны практически непрерывен. Наиболее сильно расщепляются энергетические уровнивалентных электронов, образуя так называемыевалентную зону и зону проводимости.
Многие электрофизические свойства твердых тел связаны с электронами в частично заполненных зонах, так как в пределах этих зон электроны могут изменять свою энергию под действием внешних факторов, и способны, в частности, участвовать в процессе электропроводности.
Вероятность заселения электронами энергетических уровней в зонах определяется статистикой Ферми-Дирака, описывающей энергетическое распределение частиц, подчиняющихся принципу Паули. Вероятность того, что состояние с энергией Е при температуре Т занято электроном, определяется функцией Ферми
Величину называютэнергией (уровнем) Ферми. Легко видеть, что при функция, если, и равна нулю, если(см. рис. 2а). При любой другой температуре энергия Ферми совпадает с энергией того уровня, вероятность заполнения которого равна 0,5. Если бы энергетические уровни в зоне были распределены равномерно, число электронов, имеющих энергию Еi в небольшом интервале dE, определялось бы из функции Ферми (заштрихованная площадь на рис. 2,а). Однако вблизи дна зоны проводимости энергетические уровни расположены реже, чем в ее верхней части. Распределение энергетических уровней в зоне проводимости характеризуют функцией – плотностью энергетических состояний. С хорошим приближением считается, чтоимеет вид
(7)
где – масса (эффективная) электрона;Ес – энергия, соответствующая дну зоны проводимости. Плотность заполнения электронами уровней энергетической зоны описывается функцией распределения
(8)
е
T=0 T>0 0
0,5 1,0
Ec
Ei
EF E w a) n,w,D E
n w D
EF
Em
б)
Ec
Рис.
2
Общая концентрация электронов в зоне пропорциональна заштрихованной площади на рис.2,б. Аналогичные результаты справедливы и для материала с дырочной проводимостью, с тем отличием, что энергия отсчитывается от значения (энергии потолка валентной зоны) в сторону убывания.
4. При контакте материалов с различным типом электропроводности образуется переход. Если материалы относятся к вырожденным полупроводникам, при малой толщине перехода (10-8м) возникают условия, благоприятствующие туннелированию носителей сквозь потенциальный барьер перехода. В вырожденных полупроводниках уровень Ферми находится не в запрещенной зоне, а смещен в полупроводникетипа в зону проводимости объединенную с так называемойпримесной зоной, образующейся из энергетических уровней доноров при их высокой концентрации (~ 1024 – 1026 м-3). В вырожденном полупроводнике типа уровень Ферми находится в верхней части валентной зоны, объединенной с примесной зоной акцепторов.
EF
EV
EF
Ec
“n” “p”
а)
Ec
EF
EF
EV
“n” “p”
б)
“n” “p”
в)
Ec
EF
EV
EF
Рис.
3
Ev
n(E)
P(E) D(E)
Ec
Em
EF
EF D(E) E
Рис. 4
Если напряжение на диоде равно нулю, ток через диод также равен нулю, так как переход электронов на заполненные уровни невозможен, а вероятность переходов слева и справа для электронов с энергией Ei >EF. При приложении к диоду прямого напряжения (рис.3,б) энергетические уровни в области смещаются вниз в сравнении с уровнями вобласти; границы зон сближаются. Число переходов электронов изобласти вобласть увеличивается, так как большей плотности занятых состояний вобласти соответствует большая плотность свободных состояний («дырок») вобласти; одновременно уменьшается число переходов электронов изобласти вобласть (рис.4) до тех пор, пока не произойдет совпадение максимумов функций распределения (черные точки на рис.4); дальнейшее увеличение прямого напряжения вызывает уменьшение туннельного тока. По достижении напряжения(совпадение границ зоны проводимости и валентной) туннельные переходы прекращаются, так как против занятых электронами уровней находятся запрещенные энергетические состояния. Отличие от нуля тока(рис.5) и дальнейшее увеличение прямого тока по мере возрастания напряжения объясняются преодолением электронами потенциального барьера за счет теплового движения (см. описание к работе 3.06)
Зонная диаграмма туннельного диода при обратном смещении показана на рис.3,в.