Раздел 6 кратные интегралы
1. Двойной интеграл
Задача об объеме цилиндрического тела.
Двойной интеграл и его основные свойства.
Вычисление двойных интегралов в декартовых координатах.
Замена переменных в двойном интеграле. Переход от декартовых координат к полярным.
Приложение двойного интеграла для решения задач геометрии и физики.
Литература
,
гл. ХIV,
§1, 2, упр. 1, 4-6; §3, упр. 8-10, 15, 17; §4, упр. 24,
25, 32; §5, 6, упр. 18-20, 28; §7, упр. 43, 46, 48; §9,
упр.59, 60; §10, упр. 53, 54.
Вопросы для самопроверки
Что называется двойным интегралом от функции f(x; y) по области D? Укажите его геометрический смысл.
Сформулируйте теоремы о двойном интеграле от суммы и вынесении постоянного множителя за знак двойного интеграла. Докажите, что
, где
.
Что называется двукратным интегралом от функции f(x; y) по области D? Как он вычисляется?
Докажите теорему о среднем для двойного интеграла, укажите ее геометрический смысл.
Выведите формулу для вычисления двойного интеграла с помощью двукратного. Дайте геометрическое толкование формулы в случае неотрицательной подынтегральной функции.
Обоснуйте формулы, служащие для вычисления объема цилиндрического тела и площади плоской фигуры с помощью двойных интегралов.
Выведите формулу для вычисления двойного интеграла в полярных координатах.
Каков геометрический смысл интеграла
,
гдеz=z(x;
y)
– функция, обладающая непрерывными
частными производными в области D?
Каков механический смысл интеграла
,
где
- непрерывная функция в областиD?
Выведите формулу для вычисления координат центра тяжести плоской фигуры D, поверхностная плотность которой
.
2. Тройной интеграл
2.1. Тройной интеграл и его основные свойства.
2.2. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах.
2.3. Замена переменных в тройном интеграле. Использование цилиндрических и сферических координат.
2.4. Геометрические и механические приложения тройных интегралов.
Литература
,
гл. ХIV,
§11, 12, упр. 65, 66; §13, упр. 67; §14, упр. 68, 69.
Вопросы для самопроверки
Что называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) пространственной области V? Укажите его механический смысл.
Что называется трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V? Как он вычисляется?
Сформулируйте теорему о среднем для тройного интеграла.
Выведите формулу для вычисления тройного интеграла с помощью трехкратного. Напишите формулу для вычисления тройного интеграла в цилиндрических координатах.
Обоснуйте формулу, служащую для вычисления объема тела с помощью тройного интеграла.
Каков механический смысл интеграла
,
где
- непрерывная функция в областиV?
Напишите формулы для вычисления координат
центра тяжести тела V,
объемная плотность которого
.
Задания для контрольной работы.
Изменить порядок интегрирования*
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
1.16.
1.17.
1.18.
1.19.
1.20.
1.21.
1.22.
1.23.
1.24.
2. Вычислить*
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
2.21.
2.22.
2.23.
2.24.
3. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
3.15.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
3.21.
3.22.
3.23.
3.24.
4. Вычислить
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.20.
4.21.
4.22.
4.23.
4.24.
5. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
5.9.
5.10.
5.11.
5.12.
5.13.
5.14.
5.15.
5.16.
5.17.
5.18.
5.19.
5.20.
5.21.
5.22.
5.23.
5.24.
6. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.
6.12.
6.13.
6.14.
6.15.
6.16.
6.17.
6.18.
6.19.
6.20.
6.21.
6.22.
6.23.
6.24.
7. Тело V
задано ограничивающими его поверхностями,
- плотность. Найти массу тела.
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
7.10.
7.11.
7.12.
7.13.
7.14.
7.15.
7.16.
7.17.
7.18.
7.19.
7.20.
7.21.
7.22.
7.23.
7.24.