Задание №4 для контрольной работы .

Дана система линейных дифференциальных уравнений I-го порядка с постоянными коэффициентами. Требуется найти ее общее решение методом исключения.

4.1.	4.2.
4.3.	4.4.
4.5.	4.6.
4.7.	4.8.
4.9.	4.10.
4.11.	4.12.
4.13.	4.14.
4.15.	4.16.
4.17.	4.18.
4.19.	4.20.
4.21.	4.22.
4.23.	4.24.

IV. Составить дифференциальное уравнение и найти решение.

Для составления ДУ необходимо вспомнить, в чем состоит геометрический и физический смысл производной.

В физических задачах надо прежде всего решить, какую из величин взять за независимую переменную, а какую – за искомую функцию. Затем надо выразить, на сколько изменится искомая функция у, когда независимое переменное х получит приращение , т.е. выразить разностьчерез величины, о которых говорится в задаче. Разделив эту разность наи перейдя к пределу при, получим ДУ, из которого можно найти искомую функцию. Иногда ДУ можно составить более простым путем, воспользовавшись физическим смыслом производной (если независимое переменное времяt, то - скорость изменения величины у).

Чтобы решить геометрическую задачу, надо построить чертеж, обозначить искомую кривую через у. Тогда у^/ - угловой коэффициент касательной, проведенной к искомой кривой. далее надо выразить все упомянутые величины через х, у, у^/. Тогда данное в условии задачи соотношение превращается в ДУ, из которого можно найти искомую функцию у(х).

В некоторых задачах содержатся условия, с помощью которых можно определить значения постоянных, входящих в общее решение ДУ.

Примеры

Задача 1. За какое время тело, нагретое до 100^о, охладится до 25^о в комнате с температурой 20^о, если до 60^о оно охладилось за 20 мин. (По закону Ньютона скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности температуры воздуха).

Решение. Пусть в момент времени t после начала охлаждения тела его температура будет Т^о, тогда, с одной стороны, скорость изменения температуры тела выразится формулой . С другой стороны, по закону Ньютона скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и воздуха в комнате. т.е. она равна, здесьk - коэффициент пропорциональности, зависящий от массы, теплопроводности, формы тела.

Сравнивая оба полученных выражения для скорости изменения температуры, получим:

(знак минус, т.к. как температура тела уменьшается). Получили ДУ первого порядка с разделяющимися переменными. Решая его, получим общее решение:

. (_*)

Произвольную постоянную С и коэффициент k можно найти из начальных условий. Подставляя в (_*) t=0 мин., Т=100^о, получим .

При t=20 мин., Т=60^о, следовательно:

.

Таким образом, частное решение ДУ, удовлетворяющее всем условиям задачи, будет или,.

Теперь выясним, через сколько времени температура тела станет раной 25^о. Подставляя вместо Т число 25, находим t:

.

Следовательно, тело остынет до температуры 25^о через 80 мин.

Задача 2. Найти: 1) семейство кривых, для которых угловой коэффициент касательной равен ординате точки касания; 2) кривую этого семейства, проходящую через точку

Р(2, 5).

Решение. ДУ искомого семейства у^/=у или . Проинтегрировав обе части равенства, получимили. Определим значение С, соответствующее начальным значениям:

;;.

Следовательно, - искомая кривая (проходящая через точку Р).

Пример 3. Найти кривые, проходящие через точку N(0, 1), для которых площадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная .

Решение. Пусть точка М с координатами (х, у) принадлежит искомой кривой (рис. 1). Тогда МА – отрезок касательной к кривой , причем .

Из треугольника АМВ имеем

.

По условию

.

Отсюда

.

У

М(х, у)

0 А В х

Рис. 1.

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, получим:

.

Учитывая, что кривые проходят через точку N(0, 1), найдем величину С:

,.

Следовательно, уравнения искомых кривых имеет вид

.