II. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка.

Рассмотрим два типа дифференциальных уравнений 2-го порядка, допускающие понижение порядка.

1) Дифференциальное уравнение вида (не содержащее искомой функции у).

Порядок такого уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию , т.е. положить, следовательно. Получим дифференциальное уравнениеI-го порядка

Схема решений:

Получающееся при этом уравнение I-го порядка решаем одним из методов, рассмотренных ранее.

Пример 1. Найти частное решение дифференциального уравнения ,

удовлетворяющего начальным условиям .

Решение. Произведем понижение порядка дифференциального уравнения. Положим , тогда. Подставив эти значения у^/ и у^// в данное уравнение, получим уравнение:

,

которое является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

.

Производим интегрирование . Отсюда. Но, поэтому:

. (2)

Используем начальные условия и найдем постоянную интегрирования С₁: т.к. при, то получаем, т.е. С₁=3. Тогда:

. (3)

Условие у=1 при х=0 подставим в (3): 1=С₂. Таким образом, из начальных условий вытекает, что С₁=3, С₂=1 и искомое частное решение имеет вид:

.

Замечание. Дифференциальное уравнение вида

приводится к дифференциальному уравнению -го порядка с помощью замены. Например, пусть дано уравнение. Положив, понизим порядок на 2. Получим- уравнение с разделяющимися переменными (уравнениеI-го порядка).

2) Если в уравнение не входит независимое переменное х, т.е. уравнение имеет вид:

,

то порядок можно понизить, взяв за новую независимую переменную у, а за неизвестную функцию . Тогда:

.

Схема решения:

При этом получается уравнение I-го порядка относительно неизвестной функции и независимой переменной у.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. В уравнение не входит х. Полагаем . Тогда

.

После подстановки у^/ и у^// в исходное уравнение оно принимает вид

или.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

,,,,

,.

Следовательно, . Тогда

,,,

,,.

(При решении уравнения делили на . Если, т.е., тогда- это одно из решений данного уравнения, не представляющее интереса).

Задание №2 для контрольной работы. Даны дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
2.21.
2.22.
2.23.
2.24.

3) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью:

, (p, q – const) (1)

Общее решение уравнения (1)

,

где - общее решение линейного однородного дифференциального уравнения

,

- некоторые частные решения уравнения (1).

а) Рассмотрим решение ЛОДУ

(2)

Схема решения (2):

(3)

(4)

(5)

Пример 1. Найти общее решение уравнений:

а) ;

б) ;

в) .

Решение.

а) составим характеристическое уравнение:

.

его корни (1-ый случай). Общее решение исходного дифференциального уравнения будет согласно (3)

.

б) Составим и решим характеристическое уравнение

,(2-ой случай).

Общее решение согласно (4) будет

.

в) Составим и решим характеристическое уравнение

,(3-ий случай).

Общее решение согласно (5) будет

.

б) Решение ЛНДУ. Рассмотрим метод подбора частного решения (метод неопределенных коэффициентов). Этот метод применим только к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами и только в том случае, когда его правая часть имеет вид

. (6)

В этом случае частное решение ЛНДУ 2-го порядка

следует искать в виде

. (7)

Здесь r равно числу совпадений контрольного числа с корнями характеристического уравнения (- показатель экспоненты,- коэффициент при х в тригонометрических функцияхи).и- полные многочлены от х с неопределенными коэффициентами, причемk равно наибольшему из чисел m и n в (6), при этом если в входит может быть одна из функцийи, то в (7) надо всегда вводить обе функциии.

Частными случаями функции рассматриваемой структуры являются следующие функции:

1. , А- постоянная, ;

2. , А, В - постоянные, ;

3. (многочлен степени n), ;

4. , ;

5. , ;

6. , .

Если правая часть исходного уравнения равна сумме нескольких различных функций рассматриваемой структуры (6), то для отыскания частного решения надо найти частные решения, соответствующие отдельным слагаемым правой части, и взять их сумму, которая и является частным решением исходного уравнения. Например,

,

тогда , где- частные решения уравнений

.

Пример 2. Решить уравнение

.

Решение.

а) - ЛОДУ. Составим характеристическое уравнение. Его корни

. Тогда .

б) Составим по правой части контрольное число. Показатель экспонентыравен 1. Функцийине содержит. Итак, контрольное числоz будет равно 1. Следовательно, число совпадений (т.к. совпаденийс корнями характеристического уравнения нет). Тогда частное решение будем искать в виде

.

Дифференцируем :

.

Аналогично найдем

.

Подставляя в исходное уравнение, получим

.

Это равенство выполняется при всех значениях х, а значит, коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства совпадают. Приравнивая эти коэффициенты, получаем:

Таким образом,

.

Пример 3. Составить вид частного решения следующих дифференциальных уравнений:

а) ;

б) ;

в) .

Решение.

а) Так как ,, то

.

Частное решение следует искать в виде

,

т.к. r=1 (есть одно совпадение контрольного числа с корнем характеристического уравнения).

б) Так как ,, то

.

Контрольное число . Частное решение следует искать в виде

(т.к. r=0, совпадений нет).

в) .

Так как , то,. Контрольное числоравноz=i ; есть совпадение с корнем характеристического уравнения, следовательно, частное решение следует искать в виде

.