ТСАУ (Часть 2)

ной пунктиром. Перемещение узла из начального положения (закрашенная точка) в конечное (пустая точка) показано на рис. 5 прозрачной стрелкой.

Поскольку сумматоры (устройства сравнения) выполняют операцию алгебраической суммы сигналов, то свойства, касающиеся данных устройств, подчиняются законам сложения. Правило 3 в табл. 5 работы [3] связано с ассоциативным законом, означающим, что можно выбрать порядок последовательного суммирования нескольких сигналов (обозначены на схеме a, b, c). Результат d до и после преобразования должен быть одинаковым:

Свойство 2 (см. табл. 5 в работе [3]) касается коммутативного закона и является подтверждением того, что нет разницы, в каком порядке будут следовать слагаемые – результат в любом случае не изменится (при этом знак операции не имеет значения):

Указанные выше преобразования приводят схему к виду, изображенному на рис. 6. Изменения в схеме позволяют вновь упростить два простейших вида соединения: параллельное согласное с результирующей передаточной функцией W15(s) и параллельное встречное с положительной обратной связью (ПОС)

W16(s) (см. рис. 6):

20

Рис. 6. Структурная схема после перестановки сумматоров

Кроме того, теперь можно объединить последовательные звенья с передаточными функциями W16(s) и W12(s), как показано на рис. 7:

хотя указанное упрощение схемы было уже представлено на рис. 6, где контур с ПОС соединен последовательно со звеном W12(s), т. е.

W17(s) W8(s)

W12(s) W16(s) + W14(s)

Рис. 7. Структурная схема после объединения звеньев

Тем не менее более подробное и последовательное решение задачи позволяет снизить вероятность появления ошибки. Если же сомнений в правильности действий нет, часть решения (подробное описание преобразования) можно пропускать.

21

Далее выполним еще одно преобразование, затрагивающее дистрибутивный закон сложения (правило 3 в табл. 5 работы [3]), применительно к схеме на рис. 7. Очевидно, что сигнал v здесь получается на выходе нижнего устройства сравнения путем вычитания из сигнала z результата, вычисленного на верхнем устройстве сравнения:

В выражении (59) можно раскрыть скобки, тогда после данного действия схема примет вид, показанный на рис. 8, а формула изменится следующим образом (порядок слагаемых может быть любым):

Рис. 8. Структурная схема после перестройки устройств сравнения

Теперь в схеме, приведенной на рис. 8, простейших свойств преобразования, не изменяющих структуру схемы, больше нет. Необходимо воспользоваться более сложными правилами, предполагающими перенос линий связи (у сумматора, устройства сравнения или узла) через динамическое звено. При этом различают перенос линии связи до звена или за звено. После такого преобразования по рассматриваемому каналу сигнал должен проходить через те же звенья, что и до преобразования схемы.

Перенесем линию связи (узел А) до звена W4(s) (т. е. против направления передачи сигнала, показанного стрелками) к узлу Б. Для этого необходимо воспользоваться правилом 4 в табл. 5 работы 3. Понятно, что при передаче сигнала из точки Б через точку А в точку В и Г сигнал в обоих случаях (до и после преобразования) должен проходить через звено W4(s). Если не обращаться к табл. 5 в работе [3], то можно просто продублировать два канала независимо друг от друга, при этом они оба должны содержать звено W4(s), как показано на рис. 9. Узел А после переноса через звено можно поместить в любом месте возле узла Б (соглас-

22

но правилу 1 из табл. 5 работы [3]). Наиболее удобным выглядит расположение, отмеченное пустой точкой Аʹ (см. рис. 8).

W8(s)

W4(s) А′

Рис. 9. Структурная схема после переноса узла А

Теперь можно вновь упростить последовательное W19(s) и параллельное согласное W18(s) соединения звеньев либо сразу обозначить параллельное встречное соединение W20(s), в отрицательной обратной связи (ООС) которого присутствуют последовательно соединенные звенья W4(s) и W15(s):

В свою очередь звено W18(s) соединено последовательно со звеном W17(s):

Далее становится очевидным, что рассмотренные ранее правила преобразования к схеме, изображенной на рис. 10, неприменимы, поскольку в ней переносить какую-либо линию связи нецелесообразно, так как это действие не устранит взаимосвязи контуров и будет попросту лишним. Следовательно, в

23

данном случае необходимо воспользоваться одним из наиболее сложных правил (8 или 9 из табл. 5 работы 3), подразумевающим перенос линии связи (узла) через сумматор или устройство сравнения. Для преобразования, связанного с указанными элементами, важно, чтобы сигналы на выходе области преобразования (пунктирный контур), получаемые с помощью арифметических операций входными сигналами, до и после преобразования схемы оставались одинаковыми.

Рис. 10. Структурная схема после объединения звеньев

Обозначим сигналы на схеме буквами: выходной z и x2 = x, входные – y и x1 = x. Нам необходимо перенести узел за устройство сравнения (правило 9). Формула, позволяющая вычислить выходной сигнал в исходной схеме, имеет следующий вид:

После перестроения схемы окажется, что на вход звена W8(s) подается сигнал z, поэтому необходимо восстановить сигнал x = x2. Если на выходе известен сигнал z, то нужный сигнал x можно вычислить так:

т. е. требуется ввести в схему дополнительное устройство сравнения, на которое помимо сигнала z нужно подать сигнал y любым из способов (создав в нужном месте разветвление сигнала – правило 1) (см. рис. 11, а или б).

Однако очевидно, что оба представленных способа (могут быть и другие) характеризуют одно и то же, поскольку схема на рис. 11, б легко получается из схемы, приведенной на рис. 11, а, путем переноса узла Д до звена W7(s) по правилу 4.

Далее уже можно применять правила, использовавшиеся ранее. Так, перенесем устройство сравнения за звено W8(s), а также сумматор до звена W1(s). Кроме того, для разделения контуров рассредоточим узел Е в двух точках.

24

б

Рис. 11. Структурная схема после переноса узла через сумматор

После перемещения устройства сравнения за звено W8(s) канал, содержащий звено W7(s), будет идти в обход, поэтому в нем необходимо восстановить звено W8(s). Другими словами, через звено W8(s) до преобразования проходит сигнал, полученный как разность сигналов z и y, поэтому после преобразования оба канала должны содержать звено W8(s), оказывающее влияние на каждый из указанных сигналов, а также и на их разность, т. е.

Во втором случае после переноса сумматора до звена W1(s) необходимо, чтобы в узле Ж остался тот же сигнал z:

После преобразования сигнал y будет складываться уже с сигналом a и, таким образом, далее проходить через звено W1(s), которого в канале b → y → z быть не должно. Следовательно, необходимо в этот канал добавить звено с передаточной функцией, обратной передаточной функции W1(s), через которое осуществляется перенос линии связи, т. е. передаточная функция добавочного

25

Далее поменяем местами сумматор и устройство сравнения (рис. 12) по свойству 2 табл. 5 (коммутативный закон):

а также преобразуем другой участок схемы по правилу 3 (дистрибутивный и ассоциативный законы):

Рис. 12. Структурная схема после переноса сумматора через звено

Преобразованная схема будет иметь вид, представленный на рис. 13.

Рис. 13. Структурная схема после перестановки сумматора и устройства сравнения

Кроме того, перенесем узел З за звено W20(s) (см. правило 5 табл. 5), а затем поменяем местами узлы З и И (свойство 1). Отметим, что изначально канал z → k → p шел в обход звена W20(s), однако после преобразования в нем появляется данное звено и является там лишним, формируя на своем выходе сигнал

26

n. Следовательно, в этот канал необходимо последовательно поместить звено

Теперь можно упростить три контура, представляющие собой параллельные соединения: согласное, встречное с ООС и вновь согласное, которые в свою очередь соединены последовательно, т. е.

В результате получим схему, изображенную на рис. 14. Следующее действие – привести эту схему к типовому виду в виде одномерного динамического звена (рис. 15, а):

W26 (s) W25 (s) W7 (s)W8 (s) . (79)

Если необходимо получить типовую структурную схему с главной отрицательной обратной связью (ГООС), т. е. с единичной передаточной функцией в обратном канале (рис. 15, б), то следует воспользоваться свойством 10 из табл. 5 работы [3]:

27

3. ПОСТРОЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ АМПЛИТУДНОЙ И ФАЗОВОЙ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК САУ

3.1. Краткие сведения из теории

Динамические свойства любой линейной САУ можно полностью описать с помощью передаточной функции W(s) или частотной передаточной функции W(iω). Модуль частотной передаточной функции A(ω) называется амплитудной частотной характеристикой (АЧХ), аргумент частотной передаточной функции называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).

Для анализа свойств системы АЧХ используется редко ввиду ее значительной нелинейности, поэтому намного чаще проводят расчет и исследование логарифмических частотных характеристик системы. Их особенностью является то, что частота ω по оси аргументов откладывается в логарифмическом масштабе. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) измеряется в децибелах (дБ) и непосредственно с АЧХ связана соотношением:

Передаточную функцию любой системы можно представить в виде отношения двух полиномов, каждый из которых по известным значениям его корней может быть разложен на множители. Следовательно, любую сложную САУ можно представить как последовательное соединение типовых звеньев:

Известно, что при последовательном соединении логарифмические характеристики складываются. Достоинством ЛАЧХ является ее «значительная линейность», т. е. возможность заменить точную формулу реальной характеристики приближенной кусочно-линейной зависимостью с несущественной погрешностью. В конечном итоге приближенная ЛАЧХ, представленная в виде кусочнолинейной аппроксимации, будет состоять из отрезков прямых линий, расположенных между соседними частотами сопряжения, а также будет содержать резонансные пики на частотах сопряжения звеньев второго порядка. Суммарная логарифмическая ФЧХ системы в свою очередь является нелинейной характеристикой и не может быть заменена линейными отрезками – она строится по точкам.

28

3.2. Пример решения задачи

Пример 4. Динамические свойства САУ заданы передаточной функцией в виде последовательного соединения типовых звеньев:

где K = 40; ξ = 0,05; T1 = 0,005 с; T2 = 3 с; T3 = 0,08 с; T4 = 40 с.

Требуется построить логарифмические частотные характеристики (амплитудную и фазовую) рассматриваемой системы. Логарифмическую амплитудную характеристику следует представить в асимптотическом виде с резонансными областями при их наличии.

Р е ш е н и е.

Используя значения постоянных времени реальных типовых звеньев, входящих в сложную САУ, определим по формуле (38) из работы [3] все часто-

ты сопряжения: ωс1 = 200 с–1; ωс2 = 0,3(3) с–1; ωс3 = 12,5 с–1; ωс4 = 0,025 с–1 – и

расположим передаточные функции реальных типовых звеньев в формуле (83) в порядке возрастания их собственных частот сопряжения (ωс4 < ωс2 < ωс3 < ωс1):

В формулы (83) и (84) входит передаточная функция типового звена в квадрате (с постоянной времени T2) – это означает последовательное соединение двух одинаковых звеньев (куб и более высокая степень по аналогии указывают на большее число подобных звеньев).

Построим асимптотическую ЛАЧХ САУ, пользуясь свойством последовательного соединения типовых звеньев, утверждающим, что в данном случае ЛАЧХ звеньев (см. в табл. 7 работы [3]) складываются:

где LK ( ) 20lg K – ЛАЧХ пропорционального звена;

L0 ( ) 20lg – ЛАЧХ идеального интегрирующего звена;

L1( ) 20lg T12 2 1 – ЛАЧХ апериодического звена с постоянной времени T1;

29