1. Растяжение-сжатие

   1. Основные теоретические сведения

Центральным (осевым) растяжением или сжатием называется деформация стержня под действием внешних сил, приложенных по его продольной оси.

Рассмотрим случай осевого растяжения или сжатия (рис. 1.1).

а

б

5 кН

R_A

8 кН

а

б

L₂

L₁

а

а

5 кН

N₁

8 кН

а

б

б

N₂

5 кН

б

в

5

3

Эпюра N

г

Рис. 1.1. Демонстрация метода сечений в задаче на растяжение-сжатие

1. Метод сечений в задачах на растяжение-сжатие

Для определения внутренних усилий (продольных сил) в стержне используем метод сечений.

Проведем сечение а – а на участке L₁(рис. 1.1,а), и рассмотрим равновесие правой отсеченной части. Воздействие левой отброшенной части заменим продольной силой N₁. Направим ее от сечения, т.е. предположим, что сила N₁является растягивающей (рис. 1.1,б).

Составим уравнение равновесия, применяя следующее правило знаков: если сила P_iрастягивает стержень относительно проведенного сечения, то в уравнении она записывается со знаком «+», а если сжимает его, то учитывается со знаком «–».

Проецируя все силы на ось стержня и приравнивая сумму проекций к нулю, получаем: N₁+ 8^– 5 = 0, откуда N₁=^–3 кН.

Знак минус указывает на то , что направление силы N₁следует изменить на обратное, т.е. продольная сила будет в данном случае не растягивающей, как было сделано предположение, а сжимающей.

Аналогично найдем продольную силу в сечении б – б на участке L₂ (см. рис. 1.1,а): N₂ = 5 кН (растяжение) (рис. 1.1,в).

Итак, в произвольном сечении стержня возникает внутреннее усилие – продольная сила N_i, которая равна алгебраической сумме всех внешних сил, лежащих по одну сторону от проведенного сечения:

N_i= ∑ P_i(односторонних). (1.1)

По результатам вычислений построим эпюру внутренних усилий, в данном случае – эпюру продольных сил (рис. 1.1, г), которая показывает изменение значения продольной силы по длине стержня.

Проверить правильность построения эпюры можно следующим образом: в тех сечениях, где приложены внешние силы, эпюра N всегда имеет скачок на величину соответствующей силы. В соответствии с этим значение реакции R_Аможно определить из эпюры: R_А= 3 кН (см. рис. 1.1,г).

2. Подбор сечения из условия прочности

Условие прочности для каждого участка прямолинейного стержня, характеризующегося внутренним усилием N_iи площадью поперечного сечения F_i, записывается так:

, (1.2)

где [σ] – допускаемое нормальное напряжение (механическая характеристика, является постоянной величиной для каждого материала, определяется по результатам эксперимента), значение [σ] выбирается из справочника;

σ – расчетное напряжение данного участка.

Из выражения (1.2) получим формулу для нахождения площади сечения стержня:

. (1.3)

Значение продольной силы N_iопределяется по эпюре и учитывается по абсолютной величине.

3. Деформация при растяжении-сжатии

Линейная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению: , откуда

, (1.4)

где – относительное удлинение стержня;

L– абсолютное удлинение стрежня;

L– длина стержня до деформации;

E– модуль продольной упругости, или модуль упругости первого рода (коэффициент, значение которого зависит от свойств материала) и определяется экспериментально или выбирается из справочника.

Так как и, то выражение (1.4) можно представить в виде:

. (1.5)

Удлинение всего стержня, имеющего n участков, относительно начальной точки определяется по формуле:

, (1.6)

т. е. как сумма абсолютных удлинений всех участков стержня.