teor_ver_1 (1)

В – 1

1. Эксперимент состоит в стрельбе по мишени два раза. Событие А – попадание в мишень первым выстрелом; событие В – попадание в мишень вторым выстрелом. Постройте множество элементарных исходов и выявите состав подмножеств, соответствующих событиям: а) б) А В в)

2. Телефонный номер состоит из 7 цифр. Найти вероятность того, что: а) все цифры номера различны; б) в номере нет цифр 1, 2, 5, 8.

3. Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные пачки по 26 листов. Найти вероятность того, что в каждой из пачек окажется по два туза.

   Выход из строя за время t элементов электрической цепи – независимые события, имеющие соответствующие вероятности: Определить вероятность разрыва цепи за указанный промежуток времени.

4. К кладу ведут три дороги. Вероятность погибнуть на первой дороге равна 0,4; на второй – 0,7; на третьей – 0,8. Найти вероятность того, что ковбой доберется до клада, при условии, что дорога выбирается наудачу.

5. В первом ящике 3 стандартных и 1 нестандартная деталь, во втором – 1 стандартная и 3 нестандартных детали, в третьем – 3 нестандартных детали, стандартных деталей нет. Из наугад выбранного ящика взята одна деталь, которая оказалась нестандартной. Вероятней всего, из какого ящика она извлечена?

6. В скольких партиях игры в шахматы с равным по силе противником выигрыш более вероятен: в трех партиях из четырех или пяти из восьми?

7. Имеется 100 станков равной мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме при включенном приводе в течение 0,8 всего рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольный момент времени окажутся включенными: а) от 70 до 86 станков; б) ровно 90 станков?

8. Вероятность, любому абоненту, позвонить на коммутатор, в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 100 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят не более четырех абонентов.

9. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и функцию распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

10. Х и У – независимые случайные величины, заданные соответственно таблицами распределений. Найти: а) М(Х), М(У), D(Х), D(Х); б) таблицы распределения случайных величин ; в) непосредственно по таблицам распределений и на основании свойства математического ожидания и дисперсии.

    	-1	1	2			2	4
    	р	0,1	0,3			0,4	0,6

11. Дана функция распределения F(Х) случайной величины Х. Найти: а) плотность распределения f(Х); б) построить графики F(Х), f(Х); в) математическое ожидание; г) дисперсию; д) среднее квадратическое отклонение; е) вероятность попадания случайной величины на интервал от .

12. Задана плотность распределения f(Х)= непрерывной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(Х); в) .

13. Цена деления шкалы амперметра 0,2 А. Показания округляются до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, меньшая 0,03 А.

В – 2

1. Эксперимент состоит в бросании игральной кости. Пусть событие А- появление больше четырех очков, событие В – появление больше чем 3 очка и меньше чем 6 очков, событие С появление больше чем 3 очка. Выразите событие С через события А и В. Постройте множество элементарных исходов и выявите состав подмножеств, соответствующих событиям: а) ; б) ; в) .

2. Телефонный номер состоит из шести цифр. Найти вероятность угадать номер телефона, если известно, что среди его цифр нет 0, 5, 9?

3. В розыгрыше первенства по футболу участвует 18 команд, из которых случайным образом формируются две группы по 9 команд. Среди участников соревнований имеется 5 команд экстра класса. Найти вероятность того, что все команды экстра класса попадут в одну и ту же группу.

4. Двое рабочих сделали по три детали. Вероятность выполнить бракованную деталь для первого рабочего равна 0,4, для второго – 0,3. Какова вероятность того, что у первого рабочего число бракованных деталей больше, чем у второго?

5. Медвежонок Вини-Пух каждое утро ходит в гости к одному из своих друзей: к поросенку пятачку, ослику Иа или к кролику. Пятачку угощает Пуха медом с вероятностью 0,8; Иа с вероятностью- 0,6; Кролик – с вероятностью 0,4. Какова вероятность того, что в ближайшую пятницу вини попробует меда, если вопрос «к кому сегодня пойти в гости» медвежонок решает наудачу.

6. Три оператора радиолокационной установки производят, соответственно 25%, 35%, 40% всех измерений, допуская ошибку с вероятностями 0,01; 0,03; 0,02 соответственно. Случайно проведенное измерение оказалось ошибочным. Вероятнее всего какой оператор сделал это измерение?

7. Вероятность выхода из строя за время t одного (любого) элемента равна 0,2. Определить вероятность того, что за время t из 6 элементов выйдет из строя половина; меньше половины?

8. Вероятность попадания в мишень 0,3. Какова вероятность того, что при 30 выстрелах произойдет: а) 8 попаданий; б) не больше половины.

9. Найти вероятность того, что среди 200 изделий окажется более трех бракованных, если в среднем бракованные изделия составляют 1%.

10. Вероятность промышленного содержания металла равна 0,02. Подлежит исследованию 10 проб руды. Найти закон распределения числа проб с промышленным содержанием металла. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X), где X – числа проб с промышленным содержанием металла.

11. Х и У – независимые случайные величины заданные таблицами распределений. Найти: а) М(Х), D(X), М(У), D(У); б)таблицы распределений случайных величин ; в) непосредственно по таблицам распределений и на основании свойства математического ожидания и дисперсии.

    	-1	1	5			-1	2
    	0,3	0,1	р			0,9	0,1

12. Дана функция распределения F(X) случайной величины X. Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X); в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е) .

13. Дана плотность распределения f(X) = непрерывной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X); в) .

14. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением . Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 5г.

В – 3

1. Пусть А, В, С – случайные события, выраженные подмножнствами одного и того же множества элементарных событий. В алгебре событий А, В, С запишите такие события: а) из данных событий произошло только А; б) произошло хотя бы одно из этих событий; в) произошло более одного из данных событий.

2. Найти вероятность того, что номер наудачу выбранной машины, состоящий из 4 цифр: а) не содержит одинаковых цифр; б) не содержит цифр 0, 1, 2, 5, 6.

3. Из 9 билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди наудачу взятых пяти билетов один выигрышный.

   Выход из строя за время Т элементов электрической цепи - независимые события, имеющие соответственно следующие вероятности: р1=0,31, р2=0,35, р3=0,4, р4=0,1. Определить вероятность разрыва цепи за указанный промежуток времени.

4. В скачках участвуют три лошади. Первая лошадь выигрывает скачки с вероятностью 0,5, вторая – с вероятностью 0,8, третья – 0,4. Какова вероятность того, что лошадь, на которую поставил игрок, придет первой, если лошадь выбирается наудачу?

5. На склад поступают изделия, изготовленные тремя заводами. Первый и третий заводы изготавливают одинаковое количество продукции, а второй завод – вдвое больше. Вероятность того, что изделие стандартное для первого, второго и третьего заводов равна соответственно 0,8, 06, 0,7. Наудачу взятое со склада изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено первым заводом?

6. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1. Какова вероятность того, что сообщение из 5 знаков содержит: а) 3 искаженных; б) не менее трех искажений?

7. Найти вероятность того, что из 100 случайно встреченных прохожих: а) 80 женщины; б) от 25 до 70 мужчин, если вероятность появления мужчины равна 0,4.

8. Некачественные сверла составляют 2% всей продукции фабрики. Изготовленные сверла упаковываются в ящики по 100 штук. Какова вероятность того, что в ящике окажется не больше 3 некачественных сверл?

9. Игральная кость брошена 3 раза. Найти закон распределения числа выпадения шестерки. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X), где X – числа выпадений шестерки.

10. Х и У – независимые случайные величины заданные таблицами распределений. Найти: а) М(Х), D(X), М(У), D(У); б)таблицы распределений случайных величин ; в) непосредственно по таблицам распределений и на основании свойства математического ожидания и дисперсии.

    	-1	3	5			-2	3
    	0,2	0,5	р			0,4	0,6

11. Дана функция распределения F(X) случайной величины X. Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X); в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е) .

12. Дана плотность распределения f(X) = непрерывной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X); в) .

13. Автомат штампуют детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 150 мм, фактически длина изготовленных деталей не менее 132 мм и не более 162 мм. Найти вероятность того, что длина неудачу взятой детали более 160 мм.

В – 4

1. Эксперимент состоит в бросании игральной кости. Пусть событие А – появление трех очков, событие В – появление нечетного числа очков, событие С – появление не больше пяти очков. Постройте множество элементарных исходов и выявите состав подмножеств, соответствующих событиям:

а) ; б) ; в) .

2. Найти вероятность того, что четырехзначный номер случайно встретившейся автомашины а) не содержит одинаковых цифр; б) содержит цифру 2.

3. Для уменьшения общего количества игр 16 команд спортсменов по жребию разбиваются на две подгруппы. Определить вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся в разных подгруппах.

4. Жюри состоит из трех судей. Первый и второй судьи принимают правильное решение независимо друг от друга с вероятностью 0,8, а третий судья для принятия решения бросает монету. Окончательное решение принимается по большинству голосов. Какова вероятность того, что жюри примет правильное решение?

5. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,2% брака, второй – 0,4% и третий – 0,1%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000 деталей, со второго – 2500 и с третьего – 3000 деталей.

6. Для сигнализации об аварии используются два вида сигнализаторов А-1 и А-2, каждый из которых срабатывает с вероятностями, равными соответственно 0,8 и 0,9. Вероятность того, что устройство снабжено одним из этих сигнализаторов, равна соответственно 0,6 и 0,4. Получен сигнал об аварии. Вероятнее всего, сигнализатором какого типа было снабжено устройство?

7. В поезде пять электролампочек. Каждая из них перегорает в течение года с вероятностью 0,02. Найти вероятность того, что в течение года перегорит не менее трех электролампочек.

8. В каждом из 700 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,35. Найти вероятность того, что событие А происходит: а) меньше, чем 270 и больше чем 230 раз; б) точно 270 раз.

9. На прядильной фабрике работница обслуживает 750 веретен. При вращении веретена пряжа рвется в случайные моменты времени из-за неравномерности натяжения, неровности и других причин. Считая, что вероятность обрыва пряжи на каждом из веретен в течение времени t равна 0,008, найти вероятность того, что за это время произойдет 10 обрывов.

10. Составить закон распределения числа попаданий в цель, если произведено 5 выстрелов, а вероятность попадания при одном выстреле равна 0,3. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X), где X – числа попаданий в цель.

11. Х и У – независимые случайные величины заданные таблицами распределений. Найти: а) М(Х), D(X), М(У), D(У); б)таблицы распределений случайных величин ; в) непосредственно по таблицам распределений и на основании свойства математического ожидания и дисперсии.

    	2	3	4			1	2
    	р	0,2	0,3			0,6	0,4

12. Дана функция распределения F(X) случайной величины X. Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X); в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е) .

13. Дана плотность распределения f(X) = непрерывной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X); в) .

14. Цена деления шкалы измерительного прибора 0,1. Показания округляются до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, большая 0,04.

В – 5

1. Эксперимент состоит в бросании игральной кости. Пусть событие А – появление нечетного числа очков, В – не появление трех очков, С – не появление пяти очков. Постройте множество элементарных исходов и выявите состав подмножеств, соответствующих событиям: а)АВС; б) ; в) .

2. Буквенный замок содержит на общей оси 5 дисков, каждый из которых разделен на 10 секторов, отмеченных идущими подряд не натуральными числами. Замок открывается только в том случае, когда цифры образуют определенную комбинацию. Какова вероятность открыть замок, установив произвольную комбинацию цифр, если известно, что кодовая комбинация не содержит цифр 3, 5, 8 и цифры не повторяются?

3. В зале, насчитывающем 30 мест, случайным образом занимают места 15 человек. Определить вероятность того, что будут заняты определенные 10 мест.

   Выход из строя за время t элементов электрической цепи – независимые события, имеющие соответствующие вероятности: Определить вероятность разрыва цепи за указанный промежуток времени.

4. Три оператора радиолокационной установки производят соответственно 20%, 35%, 45% всех измерений допуская ошибку с вероятностью 0,1, 0,08, 0,15. Найти вероятность того, что случайно выбранное измерение будет ошибочным.

5. В городе распространяются только билеты лотерей «Лотто лимон», «Лотто апельсин», «Лотто мандарин». Среди горожан, которые приобрели билеты, 25% отдали предпочтение «Лотто лимон», 40% - «Лото апельсин», остальные – «Лотто мандарин». Билеты «Лимона» выигрывают с вероятностью 0,002, «Апельсина» - с вероятностью 0,0015, «Мандарина» - 0,0025. По телевидению был показан счастливчик, выигравший в одну из лотерей. Вероятнее всего билеты какого «Лотто» он купил?

6. Рабочий обслуживает 4 однотипных станка. Вероятность того, что в течение часа станок потребует регулировки, равна 1/3. Какова вероятность того, что в течение часа рабочему придется регулировать не более одного станка.

7. В урне 80 белых и 20 черных шаров. Какова вероятность того, что при 60 независимых выбора шара (с возвращениями) будет вынуто: а) половина шаров белого цвета; б) черных шаров будет вынуто менее половины.

8. Прядильщица обслуживает 800 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение часа 0,005. Какова вероятность того, что в течение часа нить оборвется на трех веретенах.

9. Вероятность приема сигнала равна 0,8. Сигнал передается 5 раз. Составить закон распределения числа передач, в которых сигнал будет принят. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X), где X – числа передач, в которых сигнал будет принят.

10. Х и У – независимые случайные величины заданные таблицами распределений. Найти: а)М(Х), D(X), М(У), D(У); б) таблицы распределений случайных величин ; в) непосредственно по таблицам распределений и на основании свойства математического ожидания и дисперсии.

    	2	4	5			-1	1
    	0,3	р	0,2			0,4	0,6

11. Дана функция распределения случайной величины X. Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X); в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е) .

12. Дана плотность распределения f(X) = непрерывной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X); в) .

13. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32мм и не более 68мм. Найти вероятность того, что длина наугад взятой детали меньше 45мм.

В – 6

1. Электронная система содержит 3 транзистора, 4 конденсатора и 5 резисторов. Событие - выход из строя к-го транзистора (к = 1, 2, 3), событие - выход из строя i-го конденсатора (i = 1, 2, 3, 4), - выход из строя j-го резистора (j = 1, 2, 3, 4, 5). Электронная схема считается исправной, если одновременно исправны все транзисторы, не менее двух конденсаторов и хотя бы один резистор. Записать в алгебре событий: событие А – схема исправна, и событие .

2. На книжном стеллаже хранятся 20 томов собрания сочинений Л.Н.Толстого. Библиотекарь наудачу выбирает несколько томов. Какова вероятность того, что первая книга будет том №2, вторая – том №4, третья – том №6, если: а) было взято 3 книги; б) взято 5 книг?

3. Из урны, содержащей 12 белых шаров, 5 черных и 7 красных, наудачу без возвращения извлекаются 3 шара. Найти вероятность того, что среди них нет ни одного красного.

4. Выход из строя за время t элементов электрической цепи - независимые события, имеющие соответственно вероятности: , , , . Определить вероятность разрыва цепи за указанный промежуток времени.

5. Прием больных проводят три врача – Иванов, Петров, Сидоров. Иванов ставит верный диагноз в 50%, Петров в 70%, Сидоров в 60% случаев. Найти вероятность постановки неверного диагноза больному, если он выбирает врача наудачу.

6. Рабочий обслуживает 3 станка, обрабатывающих однотипные детали. Производительность 1-го станка в три раза больше производительности 2-го и в полтора раза больше производительности 3-го. Процент брака для этих станков соответственно 2%, 4%, 1%. Наудачу взятая деталь, изготовленная этим рабочим, оказалась бракованной.

7. Событие В появится в случае, если событие А наступит не менее четырех раз. Найти вероятность наступления события В, если производится 5 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8.

8. Пара одинаковых игральных костей бросают 50 раз. Какова вероятность того, что сумма очков, равная 9, выпадет: а) ровно 10 раз; б) не менее 10 раз.

9. Вероятность попадания в мишень 0,001. Какова вероятность того, что при 5000 выстрелах будет не меньше двух попаданий?

10. Вероятность содержания опасной концентрации фенола в каждой пробе речной воды равна 0,3. Исследуется 10 проб. Составить закон распределения числа проб с опасным содержанием фенола. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X) этой случайной величины.

11. Х и У – независимые случайные величины заданные таблицами распределений. Найти: а) М(Х), D(X), М(У), D(У); б)таблицы распределений случайных величин ; в) непосредственно по таблицам распределений и на основании свойства математического ожидания и дисперсии.

    	2	3	4			1	2
    	р	0,2	0,3			0,6	0,4

12. Дана функция распределения случайной величины X. Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X); в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е) .

13. Дана плотность распределения f(X) = непрерывной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X); в) .

14. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены