Лабораторны работы по физике
.pdf
Найдем связь между стрелой прогиба и характеристиками упругого стержня. В данной работе используется пластина прямоугольного сечения размерами L (длина), h (высота), b (ширина).
Под воздействием внешней силы пластина искривляется, и ее форма может быть описана функцией y(x) (см. рис. 1). Возникающие в пластине силы упругости пропорциональны
кривизне пластины, т. е. второй производной y '(x) . Условие равновесия имеет вид:
|
|
|
|
|
|
E × I × y" (x) = M (x) |
[1] |
|
|
||||||||||
где E - модуль Юнга; I = ∫ y 2 dS = |
b × h3 |
|
- |
коэффициент (геометрический момент инерции |
|||||||||||||||
12 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
прямоугольного сечения пластины, относительно осевой линии), |
определяемый |
геометрией |
|||||||||||||||||
пластины; |
M (x) = |
P |
x - изгибающий момент сил. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким |
образом, получаем |
дифференциальное |
уравнение |
для формы |
пластины: |
||||||||||||||
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|||||
y" (x) = |
|
|
x , интегрируя которое, находим: y '(x) = |
|
|
|
x 2 + C . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 × |
E × I |
|
|
|
|
|
4 |
× E × I |
|
|
|||||||||
Константу интегрирования C определим из условия равенства нулю наклона пластины в ее |
|||||||||||||||||||
центре: y '(L 2) = 0 , откуда C = - |
PL2 |
|
. После второго интегрирования имеем: |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
16 × E × I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
y(x) = |
P × x3 |
|
- |
P × L2 × x |
|
[2] |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
12 × E × I |
16 × E × I |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Стрела прогиба λ по модулю равна смещению середины пластины:
λ = - y(L |
2) = |
|
P × L3 |
[3] |
|
4 × E × b × h3 |
|||||
Подставляя в [3]: P = mg , где m - |
масса груза, |
g = 9,80 м с2 - ускорение свободного |
|||
падения, окончательно находим: |
|
|
|
|
|
E = |
m × g × L3 |
[4] |
|||
4 × λ × b × h3 |
|
||||
Интервал надежности.
Интервал надежности можно оценить по правилам расчета погрешности косвенного измерения:
Dm |
DL |
+ |
Dλ |
+ |
Db |
Dh |
< E > |
[5] |
||
DE » t p,n |
m |
+ 3 |
λ |
b |
+ 3 |
|
||||
|
L |
|
|
h |
|
|
|
|||
где t p ,n - коэффициент Стьюдента, зависящий от доверительной вероятности p и числа измерений n.
Записываем результат в виде: E =< E > ± E ; p = ;
2.Выполнение работы.
Приборы и принадлежности:
1.Штатив с кронштейном и часовым механизмом.
2.Исследуемая пластина
3.Груз и добавочные грузы.
4.Штангенциркуль
Установить исследуемую пластину 1 на опоры 2 (см. рис. 2). Установить циферблат часового механизма 3 таким образом, чтобы стрелка показывала на 0.
1.Повесить на скобу 4 гирю 5. По шкале индикатора определить величину прогиба λ . Повторить измерения 3 раза.
51
2.Повторить задание п. 1, увеличивая массу с помощью дополнительных грузов. Повторить измерения 3 раза. Всего провести измерения для 3 значений массы.
3.Найти среднее значение величины прогиба соответствующего каждой массе.
4.Измерить штангенциркулем размеры пластины L, b, h .
5.Вычислить модуль Юнга исследуемого вещества по формуле [4] при каждой массе гири E(m) .
6.Найти среднее значение модуля Юнга по формуле:
< E >= 1 |
n |
∑ Ei (m) , где n - число измерений с разными |
n i=1
значениями массы груза m . По формуле [5], оценить интервал надежности и записать результат измерений в виде:
E =< E > ± E в последнюю строку таблицы.
|
Таблица результатов. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Параметры пластины |
L = , мм |
|
b = |
, мм |
|
h = |
, мм |
№ опыта |
m, г |
λ, мм |
< λ >, мм |
E(m), |
Н м2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
E =< E > ± E, Н м2 |
|
|
E = |
, p = ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольные вопросы.
1.Виды деформаций.
2.Нормальное и тангенциальное напряжение. Единицы измерения.
3.Сформулируйте закон Гука.
4.Деформация растяжения. Модуль Юнга. Единицы измерения.
5.Что называют стрелой прогиба?
6.Как в данной работе определяется модуль Юнга? Расчетная формула.
Литература. Курс общей физики под ред. Савельева И. В. т. 1.
52