Задание n 7 Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность"

ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Предел функции в точке  …

Решение: Напоминаем, что для вычисления предела многочлена при  достаточно вместо переменной  поставить значение , к которому она стремится, и выполнить соответствующие действия:

ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Способы задания числовых последовательностей Дана числовая последовательность Установите соответствие между номером и соответствующим членом данной последовательности.

Решение: Для того чтобы найти определенный член последовательности, нужно вместо  в данное равенство подставить его номер.

ЗАДАНИЕ N 10 Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль" равен …

ЗАДАНИЕ N 11 Тема: Второй замечательный предел

ЗАДАНИЕ N 12 Тема: Первый замечательный предел

ЗАДАНИЕ N 13 Тема: Производная функции в точке Если , то  принимает значение, равное …

Решение: Напоминаем, что производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. Тогда имеем Пусть . Получим

ЗАДАНИЕ N 14 Тема: Производная сложной функции Производная функции  равна …

ЗАДАНИЕ N 15 Тема: Экстремум функции Для функции  точка максимума  принимает значение, равное …

Решение: Для отыскания точек экстремума найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. Заметим, что производная существует для любого значения х, приравняем ее к нулю, получим: Последнее уравнение имеет корни:  Отметим найденные значения на числовой прямой. Найдем знак производной  на каждом из получившихся промежутков. Точки  и  являются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак.  – точка максимума, так как производная меняет знак с «+» на «–».

ЗАДАНИЕ N 16 Тема: Дифференциал функции Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке можно использовать приближенную формулу где приращение функции в точке Функция y(x) определяется из условия задачи. Значения  и  выбираются так, чтобы можно было вычислить и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше. Тогда приближенное значение выражения  равно …

Решение: .Так как , то можно рассмотреть функцию   Тогда По формуле получим

ЗАДАНИЕ N 18 Тема: Правила дифференцирования Производная функции  равна …

Решение: Для нахождения производной необходимо воспользоваться правилами , , , где c – постоянная величина, а U и V – некоторые функции, зависящие от x, и формулами Тогда получим

ЗАДАНИЕ N 19 Тема: Классическое определение вероятности В урне 35 белых и 55 черных шаров. Наугад вынутый шар окажется белым с вероятностью, равной …

Решение: Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа m элементарных событий (исходов), благоприятствующих событию А, к общему числу n равновозможных элементарных событий (исходов). В нашем случае число благоприятствующих событий равно 35 (количество белых шаров). Общее число событий . Тогда

ЗАДАНИЕ N 20 Тема: Объем выборки Объем выборки, заданной статистическим распределением , равен …

Решение: Случайная величина Х принимает значение «1» − 5 раз, значение «2» − 11 раз, значение «3» − 29 раз и значение «4» − 15 раз. Тогда  объем выборки.

ЗАДАНИЕ N 21 Тема: Элементы комбинаторики Пароль состоит из 6 букв слова «угадай». Каждая буква может встречаться ровно один раз. Тогда максимальное количество возможных паролей равно …

Решение: Число различных паролей, состоящих из 6 букв слова «угадай», в которых каждая буква встречается ровно один раз, равно числу перестановок из шести элементов:

ЗАДАНИЕ N 22 Тема: Характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее Выборочное среднее для вариационного ряда  равно …

Решение: Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки: Обращаем внимание, что значение «2» некоторая случайная величина принимает 5 раз, значение «3» – 1 раз, значение «4» – 3 раза и значение «5» – 1 раз. Тогда среднее арифметическое всех значений выборки равно

ЗАДАНИЕ N 23 Тема: Математическое ожидание дискретной случайной величины Математическое ожидание М(Х) случайной величины, имеющей закон распределения вероятностей , равно …

ЗАДАНИЕ N 24 Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей Первый спортсмен попадает в мишень с вероятностью , а второй – с вероятностью . Оба спортсмена стреляют одновременно. Вероятность того, что они оба промахнутся, равна …

ЗАДАНИЕ N 25 Тема: Действия над конечными множествами Даны множества  и . Тогда  равно …

ЗАДАНИЕ N 26 Тема: Действия над множествами Пусть на рисунке изображены множества и Тогда заштрихованная область соответствует множеству …

ЗАДАНИЕ N 27 Тема: Способы задания множеств, конечные и бесконечные множества Даны множества  и Тогда верными будут утверждения …

Решение: Множества А и В заданы с помощью характеристического свойства. Зададим их перечислением элементов. Элементы множества A являются корнями уравнения , значит, «» – истинное утверждение. Аналогично получим . Для множеств A и B элемент 2 является общим, значит, утверждение «» – истинное. По этой же причине утверждение «» будет ложным. Объединение множеств содержит все элементы, которые содержатся в каждом из них, то есть , поэтому утверждение «» – ложное.

ЗАДАНИЕ N 28 Тема: Основные понятия теории множеств Даны множества  четно и Тогда верными будут утверждения …

множество B конечно

множество A конечно

Решение: Имеем множества, заданные с помощью характеристического свойства. Зададим их перечислением элементов. Получим:  и . Тогда очевидно, что утверждения «множество B конечно» и  являются верными, а утверждения  и «множество A конечно» будут ложными.

ЗАДАНИЕ N 29 Тема: Прямое произведение двух множеств Пусть , . Тогда прямое произведение  равно …

Решение: Прямое произведение  содержит множество упорядоченных пар вида , в которых x пробегает все значения из множества A, а y – все значения из множества B, тогда

ЗАДАНИЕ N 30 Тема: Числовые множества Числовые множества – это множества, элементами которых являются числа. Примеры таких множеств: R – множество действительных чисел, Q – множество рациональных чисел, Z – множество целых чисел, N – множество натуральных чисел. Пусть дано множество , тогда верными будут утверждения …

Решение: Элементами множества A являются действительные числа, поэтому справедливо утверждение:  но тогда справедливо и утверждение, что Так как  не является целым и тем более натуральным числом, то два оставшихся утверждения ложные.

34