Задание n 30 Тема: Первый замечательный предел

Решение: Воспользуемся первым замечательным пределом  и соотношением Выполним замену переменной  откуда Учитывая, что  при , получим:

ЗАДАНИЕ N 31 Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль" равен …

Решение: Обращаем внимание, что предел данной функции нельзя вычислить непосредственной подстановкой предельного значения аргумента в выражение, так как при этом получается неопределенность вида . Поэтому нужно преобразовать функцию, используя формулу разности квадратов . Имеем Сократив полученную дробь на критический множитель , и подставив предельное значение аргумента в оставшееся выражение, получим

ЗАДАНИЕ N 32 Тема: Второй замечательный предел

ЗАДАНИЕ N 33 Тема: Первый замечательный предел

Решение: Воспользуемся первым замечательным пределом  и соотношением Выполним замену переменной  откуда Учитывая, что  при , получим:

ЗАДАНИЕ N 34 Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность" равен …

ЗАДАНИЕ N 35 Тема: Предел функции в точке  …

ЗАДАНИЕ N 36 Тема: Способы задания числовых последовательностей Дана числовая последовательность Установите соответствие между номером и соответствующим членом данной последовательности.

Решение: Для того чтобы найти определенный член последовательности, нужно вместо  в данное равенство подставить его номер.

ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Основные понятия теории множеств Даны множества  − нечетно и Тогда верными будут утверждения …

множество A бесконечно

Решение: Имеем множества, заданные с помощью характеристического свойства. Зададим их перечислением элементов. Получим  и . Тогда очевидно, что утверждения  и «множество A бесконечно» являются верными, а утверждения  и  будут ложными.

ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Действия над конечными множествами Даны множества  и . Тогда  равно …

ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Действия над множествами Пусть на рисунке изображены множества и Тогда заштрихованная область соответствует множеству …

ЗАДАНИЕ N 10 Тема: Прямое произведение двух множеств Пусть , . Тогда прямое произведение  равно …

ЗАДАНИЕ N 11 Тема: Способы задания множеств, конечные и бесконечные множества Даны множества  и Тогда верными будут утверждения …

Решение: Обращаем внимание, что множества заданы с помощью характеристического свойства. Зададим эти же множества перечислением элементов. Получим  и . Очевидно, что утверждение  истинное, а  ложное. Для множеств A и B элементы 3 и 4 являются общими. Значит, утверждение  истинное. По этой же причине утверждение  ложное.

ЗАДАНИЕ N 12 Тема: Числовые множества Числовые множества – это множества, элементами которых являются числа. Примеры таких множеств: R – множество действительных чисел, Q – множество рациональных чисел, Z – множество целых чисел, N – множество натуральных чисел. Пусть дано множество , тогда верными будут утверждения …

Решение: Элементами множества A являются целые числа. Значит, справедливы утверждения, что  и . Так как отрицательные числа не являются натуральными, то утверждение  ложное. Неверным будет и утверждение , так как множество A содержит в себе всего три целых числа.

ЗАДАНИЕ N 43 Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции Функция  имеет на отрезке  наибольшее значение, равное …

Решение: Заметим, что функция  непрерывна на отрезке . Найдем производную В данном задании критическими являются точки, в которых производная равна нулю. То есть . Корнями полученного уравнения являются  и  Обращаем внимание на то, что точка  не принадлежит отрезку . Вычислим значения функции в точке  и на концах данного отрезка. Наибольшее значение функции на указанном промежутке равно 5.

ЗАДАНИЕ N 14 Тема: Дифференциал функции Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке  можно использовать формулу  где приращение функции в точке Функция y(x) определяется из условия задачи. Значения  и  выбираются так, чтобы можно было вычислить  и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше. Тогда приближенное значение выражения  равно …

Решение: . Так как , то можно рассмотреть функцию Пусть  тогда Имеем: По формуле получим:

ЗАДАНИЕ N45 Тема: Экстремум функции Для функции  точка минимума  равна …

Решение: Заметим, что . Для отыскания точек экстремума нужно найти точки, в которых производная равна нулю или не существует. Из полученного уравнения имеем  Отметим эти точки на числовой прямой. Напоминаем, что в точке  функция не существует. Найдем знак производной  на каждом из получившихся промежутков. Точки  и  являются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак.  – точка минимума, так как производная меняет знак с «-» на «+».

ЗАДАНИЕ N 16 Тема: Производная функции в точке Если , то  принимает значение, равное …

Решение: Напоминаем, что производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. Тогда имеем Пусть . Получим

ЗАДАНИЕ N 17 Тема: Производная сложной функции Производная функции  равна …

ЗАДАНИЕ N 18 Тема: Правила дифференцирования Производная функции  равна …

Решение: Для нахождения производной необходимо воспользоваться правилами , , , где c – постоянная величина, а U и V – некоторые функции, зависящие от x, и формулами Тогда получим

ЗАДАНИЕ N 19 Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей Имеются две коробки с лампочками. Вероятность вынуть бракованную лампочку из первой коробки равна . Вероятность вынуть бракованную лампочку из второй коробки равна . Наугад вынимают по одной лампочке из каждой коробки. Вероятность того, что обе лампочки окажутся качественными, равна …

Решение: Пусть событие А означает, что из первой коробки вынимают одну качественную лампочку, тогда  Событие В означает, что из второй коробки вынимают одну качественную лампочку, тогда . События А и В являются независимыми. Тогда вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

ЗАДАНИЕ N 20 Тема: Элементы комбинаторики Код замка состоит из 5 цифр: 4, 5, 6, 7, 8. Каждая цифра встречается ровно один раз. Тогда максимальное количество замков с такими кодами равно …

Решение: Число различных кодов, состоящих из 5 цифр: 4, 5, 6, 7, 8, в которых каждая цифра встречается ровно один раз, равно числу перестановок из пяти элементов:

ЗАДАНИЕ N 21 Тема: Классическое определение вероятности Среди 10 изделий встречается 2 нестандартных. Наугад взятое изделие окажется стандартным с вероятностью, равной …

Решение: Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа благоприятных для А исходов к числу всех равновозможных исходов. По условию задачи число благоприятных исходов, то есть число стандартных изделий, равно . Число всех равновозможных исходов равно 10, тогда

ЗАДАНИЕ N 22 Тема: Объем выборки Объем выборки, заданной статистическим распределением , равен …

Решение: Случайная величина Х принимает некоторое значение 120 раз, второе значение − 180 раз, третье значение − 205 раз и четвертое значение 95 раз. Тогда 120 + 180 + + 205 + 95 = 600 – объем выборки.