ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Правила дифференцирования Производная функции  равна …

Решение: Для нахождения производной необходимо воспользоваться правилами , , , где c – постоянная величина, а U и V – некоторые функции, зависящие от x, и формулами Тогда получим

ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Производная функции в точке Если  то  принимает значение, равное …

Решение: Напоминаем, что производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. Тогда имеем Пусть . Получим

ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Дифференциал функции Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке  можно использовать формулу  где приращение функции в точке Функция y(x) определяется из условия задачи. Значения  и  выбираются так, чтобы можно было вычислить  и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше. Тогда приближенное значение выражения  равно …

Решение: . Так как , то можно рассмотреть функцию Пусть  тогда Имеем: По формуле получим:

ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции Функция  имеет на отрезке  наибольшее значение, равное …

Решение: Заметим, что функция  непрерывна на отрезке . Найдем производную В данном задании критическими являются точки, в которых производная равна нулю. То есть . Корнями полученного уравнения являются  и  Обращаем внимание на то, что точка  не принадлежит отрезку Вычислим значения функции в точке  и на концах данного отрезка. Наибольшее значение функции на указанном промежутке равно 10.

ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Экстремум функции Для функции  точка минимума  равна …

Решение: Заметим, что . Для отыскания точек экстремума нужно найти точки, в которых производная равна нулю или не существует. Из полученного уравнения имеем  Отметим эти точки на числовой прямой. Напоминаем, что в точке  функция не существует. Найдем знак производной  на каждом из получившихся промежутков. Точки  и  являются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак.  – точка минимума, так как производная меняет знак с «-» на «+».

ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Действия над множествами Пусть на рисунке изображены множества и Тогда заштрихованная область соответствует множеству …

ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Прямое произведение двух множеств Пусть , . Тогда прямое произведение  равно …

Решение: Прямое произведение  содержит множество упорядоченных пар вида , в которых x пробегает все значения из множества A, а y – все значения из множества B, тогда

ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Основные понятия теории множеств Даны множества нечетное и Тогда верными будут утверждения …

множество A бесконечно

Решение: Обращаем внимание, что множества заданы с помощью характеристического свойства. Зададим их перечислением элементов. Получим  и . Тогда очевидно, что утверждения  и «множество A бесконечно» являются верными, а утверждения  и  являются ложными.

ЗАДАНИЕ N 10 Тема: Числовые множества Числовые множества – это множества, элементами которых являются числа. Примеры таких множеств: R – множество действительных чисел, Q – множество рациональных чисел, Z – множество целых чисел, N – множество натуральных чисел. Пусть дано множество , тогда верными будут утверждения …

Решение: Элементами множества A являются целые числа. Значит, справедливы утверждения, что  и . Так как отрицательные числа не являются натуральными, то  неверно. Неверным является и , так как множество A содержит в себе всего три числа.

ЗАДАНИЕ N 11 Тема: Способы задания множеств, конечные и бесконечные множества Даны множества  и Тогда верными будут утверждения …

Решение: Обращаем внимание, что множества заданы с помощью характеристического свойства. Зададим их перечислением элементов. Элементы множества A являются корнями уравнения . Решим его, получим . Значит,  и утверждение  ложное. Аналогично получим . Для множеств A и B элемент 3 является общим, значит, утверждение  истинное. По этой же причине утверждение  ложное. Объединение множеств содержит все элементы, которые содержатся в каждом из них, поэтому утверждение  истинное.

ЗАДАНИЕ N 12 Тема: Действия над конечными множествами Даны множества  и . Тогда  равно …

ЗАДАНИЕ N 13 Тема: Первый замечательный предел равен …

Решение: Напоминаем, что для вычисления предела функции нужно воспользоваться первым замечательным пределом и соотношением . Для этого необходимо выполнить замену переменной  откуда Учитывая, что  при , получаем

ЗАДАНИЕ N 14 Тема: Предел функции в точке Предел функции  равен …

Решение: Напоминаем, что для вычисления предела многочлена при  достаточно вместо переменной  поставить значение , к которому она стремится, и выполнить соответствующие действия:

ЗАДАНИЕ N 15 Тема: Способы задания числовых последовательностей Дана числовая последовательность Установите соответствие между номером и соответствующим членом данной последовательности.

Решение: Для того чтобы найти определенный член последовательности, нужно вместо  в данное равенство подставить его номер.

Задание n 16 Тема: Второй замечательный предел

ЗАДАНИЕ N 17 Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль" равен …

Решение: Обращаем внимание, что предел данной функции нельзя вычислить непосредственной подстановкой предельного значения аргумента в выражение, так как при этом получается неопределенность вида . Поэтому нужно преобразовать функцию, используя формулу разности квадратов . Имеем: Сократив полученную дробь на критический множитель , и подставив предельное значение аргумента в оставшееся выражение, получим

ЗАДАНИЕ N 18 Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность" равен …

Решение: Обращаем внимание, что так как  и то в данном случае имеет место неопределенность вида . Для ее раскрытия нужно разделить каждое слагаемое числителя и знаменателя на  (наивысшую степень  в данной дроби). Тогда, зная, что , получим:

ЗАДАНИЕ N 19 Тема: Методы вычисления неопределенных интегралов Неопределенный интеграл  равен …

Решение: Обращаем внимание, что подстановка  приводит рассматриваемый интеграл к табличному: Для этого нужно найти дифференциал от обеих частей подстановки: . Подставляя получившиеся выражения в исходный интеграл, получаем Заменив его выражением из подстановки, имеем

ЗАДАНИЕ N 20 Тема: Неопределенный интеграл Неопределенный интеграл  равен …

ЗАДАНИЕ N 21 Тема: Геометрические приложения определенного интеграла Площадь фигуры, изображенной на заданном рисунке, равна …

Решение: Обращаем внимание, что площадь данной плоской фигуры вычисляется по формуле Тогда Получаем, что площадь фигуры равна  (кв. ед.).

ЗАДАНИЕ N 22 Тема: Свойства определенного интеграла Определенный интеграл  равен …

Решение: Обращаем внимание, что используя свойства интеграла  и , исходный интеграл можно представить в виде разности двух выражений и, применяя формулу Ньютона – Лейбница , получим:

ЗАДАНИЕ N 23 Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница Определенный интеграл  равен …

Решение: Напоминаем, что формула Ньютона – Лейбница имеет вид В нашем случае, используя формулу , имеем

ЗАДАНИЕ N 24 Тема: Физические приложения определенного интеграла Скорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за время от второй секунды до четвертой секунды движения, равен …

Решение: Напоминаем, что путь , пройденный телом за отрезок времени от до , движущимся прямолинейно со скоростью , вычисляется по формуле: . Тогда, используя условие, имеем:

ЗАДАНИЕ N 25 Тема: Элементы комбинаторики Автомобилю может быть присвоен номер, состоящий из 4 цифр: 1, 3, 5, 7. Цифры в номере повторяться не могут. Тогда максимальное количество автомобилей, которым могут быть присвоены такие номера, равно …

Решение: Число различных номеров из 4 цифр: 1, 3, 5, 7, в которых каждая цифра встречается ровно один раз, равно числу перестановок из четырех элементов:

ЗАДАНИЕ N 26 Тема: Классическое определение вероятности В урне 10 шаров, имеющих номера: 1, 2, …, 10. Наугад вынутый шар имеет номер, кратный 3, с вероятностью, равной …

Решение: Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа благоприятных для А исходов к числу всех равновозможных исходов. По условию задачи число благоприятных исходов, то есть количество выпадений номеров, кратных 3: 3, 6 и 9, равно 3. Число всех равновозможных исходов равно 10, тогда

ЗАДАНИЕ N 27 Тема: Объем выборки Объем выборки, заданной статистическим распределением , равен …

Решение: Случайная величина Х принимает некоторое значение 120 раз, второе значение − 180 раз, третье значение − 205 раз и четвертое значение 95 раз. Тогда 120 + 180 + + 205 + 95 = 600 – объем выборки.

ЗАДАНИЕ N 28 Тема: Характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее Выборочное среднее для вариационного ряда  равно …

ЗАДАНИЕ N 29 Тема: Математическое ожидание дискретной случайной величины Математическое ожидание М(Х) случайной величины, имеющей закон распределения вероятностей , равно …

Решение: Воспользуемся формулой  где  – значение дискретной случайной величины; а  – вероятность, с которой дискретная случайная величина принимает значение . Тогда

ЗАДАНИЕ N 30 Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей В первой урне 2 белых и 3 черных шара, во второй − 4 белых и 6 черных шаров. Из каждой урны вынули по одному шару. Вероятность того, что оба вынутых шара будут белыми, равна …

Решение: Пусть событие А означает, что из первой урны вынули белый шар, тогда  Событие В означает, что из второй урны вынули белый шар, значит,  События А и В являются независимыми. Тогда вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Классическое определение вероятности В урне 30 красных, 25 зеленых и 75 желтых шаров. Наугад вынутый шар окажется красным с вероятностью, равной …

ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Объем выборки Объем выборки, заданной статистическим распределением , равен …

Решение: Случайная величина Х принимает некоторое значение 120 раз, второе значение − 180 раз, третье значение − 205 раз и четвертое значение 95 раз. Тогда 120 + 180 + + 205 + 95 = 600 – объем выборки.

ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Элементы комбинаторики Пин–код пластиковой карты состоит из 4 цифр: 4, 5, 6, 7. Если бы каждая цифра встречалась ровно один раз, то максимальное количество карт с такими кодами было бы равно …

Решение: Число различных кодов, состоящих из 4 цифр: 4, 5, 6, 7, в которых каждая цифра встречается ровно один раз, равно числу перестановок из четырех элементов:

ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Математическое ожидание дискретной случайной величины Математическое ожидание М(Х) случайной величины, имеющей закон распределения вероятностей , равно …

ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее Выборочное среднее для вариационного ряда  равно …

Решение: Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки: Обращаем внимание, что значение «1» некоторая случайная величина принимает 2 раза, значение «4» – 2 раза, значение «8» – 5 раз и значение «10»− 1 раз. Тогда среднее арифметическое всех значений выборки равно

ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей Первый спортсмен попадает в мишень с вероятностью , а второй – с вероятностью . Оба спортсмена стреляют одновременно. Вероятность того, что они оба промахнутся, равна …

Решение: Если первый спортсмен попадает в мишень с вероятностью , то вероятность промаха равна . Аналогично вероятность промаха для второго спортсмена равна . Тогда вероятность совместного появления двух независимых событий (два промаха) равна произведению вероятностей этих событий:

ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Правила дифференцирования Производная функции  равна …

ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Экстремум функции Для функции  точка максимума  равна …

Решение: Заметим, что . Для отыскания точек экстремума нужно найти точки, в которых производная равна нулю или не существует. Из полученного уравнения имеем  Отметим эти точки на числовой прямой. Напоминаем, что в точке  функция не существует. Найдем знак производной  на каждом из получившихся промежутков. Точки  и  являются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак.  – точка максимума, так как производная меняет знак с «+» на «-».

ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Дифференциал функции Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке можно использовать приближенную формулу где приращение функции в точке Функция y(x) определяется из условия задачи. Значения  и  выбираются так, чтобы можно было вычислить и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше. Тогда приближенное значение выражения  равно …

Решение: .Так как , то можно рассмотреть функцию   Тогда По формуле получим

ЗАДАНИЕ N 11 Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции Наименьшее значение функции  на отрезке  равно …

Решение: Заметим, что функция  непрерывна на отрезке . Найдем значения функции на концах отрезка: Найдем производную данной функции. Тогда Так как  то нужно найти только Сравнивая значения  и , определим, что наименьшее значение функции равно 1.

ЗАДАНИЕ N 12 Тема: Производная функции в точке Если , то  принимает значение, равное …

Решение: Напоминаем, что производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. Тогда имеем . Пусть . Получим

ЗАДАНИЕ N 13 Тема: Действия над конечными множествами Даны множества  и . Тогда  равно …

ЗАДАНИЕ N 14 Тема: Числовые множества Числовые множества – это множества, элементами которых являются числа. Примеры таких множеств: R – множество действительных чисел, Q – множество рациональных чисел, Z – множество целых чисел, N – множество натуральных чисел. Пусть дано множество , тогда верными будут утверждения …

Решение: Элементами множества A являются рациональные числа. Значит, справедливы утверждения, что  и . Числа  и  являются рациональными и не принадлежат множеству целых и тем более натуральных чисел, поэтому два оставшихся утверждения ложные.

ЗАДАНИЕ N 15 Тема: Прямое произведение двух множеств Пусть , . Тогда прямое произведение  равно …

Решение: Прямое произведение  содержит множество упорядоченных пар вида , в которых x пробегает все значения из множества A, а y – все значения из множества B, тогда

ЗАДАНИЕ N 16 Тема: Основные понятия теории множеств Даны множества четное и Тогда верными будут утверждения …

множество A конечно

Решение: Обращаем внимание, что множества заданы с помощью характеристического свойства. Зададим их перечислением элементов. Получим  и . Здесь элементы множества B являются корнями квадратного уравнения . Тогда очевидно, что утверждения  и  являются верными, а утверждения  и «множество A конечно» являются ложными.

ЗАДАНИЕ N 17 Тема: Действия над множествами Пусть на рисунке изображены множества и Тогда заштрихованная область соответствует множеству …

ЗАДАНИЕ N 18 Тема: Способы задания множеств, конечные и бесконечные множества Даны множества  и Тогда верными будут утверждения …

Решение: Обращаем внимание, что множества заданы с помощью характеристического свойства. Зададим эти же множества перечислением элементов. Получим  и . Очевидно, что утверждение  истинное, а  ложное. Для множеств A и B элементы 3 и 4 являются общими. Значит, утверждение  истинное. По этой же причине утверждение  ложное.

ЗАДАНИЕ N 19 Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница Определенный интеграл  равен …

Решение: Напоминаем, что формула Ньютона – Лейбница имеет вид: Тогда, используя формулу , имеем:

ЗАДАНИЕ N 20 Тема: Методы вычисления неопределенных интегралов Неопределенный интеграл  равен …

ЗАДАНИЕ N 21 Тема: Физические приложения определенного интеграла Скорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за время от первой секунды до третьей секунды движения, равен …

Решение: Напоминаем, что путь , пройденный телом за отрезок времени от до , движущимся прямолинейно со скоростью , вычисляется по формуле: . Тогда, используя условие, имеем:

ЗАДАНИЕ N 22 Тема: Свойства определенного интеграла Определенный интеграл  равен …

Решение: Обращаем внимание, что используя свойства интеграла  и , исходный интеграл можно представить в виде разности двух выражений и, применяя формулу Ньютона – Лейбница , получим:

ЗАДАНИЕ N 23 Тема: Неопределенный интеграл Неопределенный интеграл  равен …

ЗАДАНИЕ N 24 Тема: Геометрические приложения определенного интеграла Площадь фигуры, ограниченной параболой  и осью ОХ, равна …

Решение: Обращаем внимание, что площадь данной плоской фигуры вычисляется по формуле В данной задаче сначала необходимо найти пределы интегрирования (точки пересечения параболы с осью ОХ): Тогда Площадь фигуры равна  (кв. ед.).

ЗАДАНИЕ N 25 Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность"

Решение: Так как  и то имеет место неопределенность вида Для ее раскрытия нужно разделить каждое слагаемое числителя и знаменателя на . Тогда, зная, что  получим:

ЗАДАНИЕ N 26 Тема: Второй замечательный предел

Решение: Функцию  нужно преобразовать так, чтобы использовать второй замечательный предел, то есть формулу Для этого числитель и знаменатель дроби необходимо разделить на число , получим: Выполним замену переменной, полагая, что Если , то и ,  и, следовательно,

ЗАДАНИЕ N 27 Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль"

ЗАДАНИЕ N 28 Тема: Способы задания числовых последовательностей Дана числовая последовательность Установите соответствие между номером и соответствующим членом данной последовательности.

			3

Решение: Для того чтобы найти определенный член последовательности, нужно вместо  в данное равенство подставить его номер.

ЗАДАНИЕ N 29 Тема: Предел функции в точке  …