Алгебра и геометрия

Задание 1. Вычислить определитель третьего порядка:

а) по определению (по правилу треугольников);

б) по правилу Саррюса;

в) разложением по элементам i-й строки;

г) разложением по элементам j-го столбца.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Задание 2. Вычислить определитель четвертого порядка:

а) получив нули в i-й строке;

б) преобразовав его к треугольному виду.

₁

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Задание 3. Выполнить указанные действия с матрицами.

_{Для вариантов} 1–5 вычислить D = (A^T + B) C.

1.  = 3,  = –2,

, ,.

2.  = –4,  = 3,

,.

3.  = 2,  = –5,

, , .

4.  = 1 / 2,  = –3,

, ,.

5. ,

, ,.

Для вариантов 6–10 вычислить D = .

6.  = –1 / 2,  = 1 / 3,

, ,.

7. 

А = ,,.

8.  = –1 / 3,  = 1 / 2,

,,.

9. 

, ,.

10. 

, В = ,.

Для вариантов 11–15 вычислить D = .

11.  = 2,  = – 3,

А = ,,С = .

12.  = –1,  = 4,

А = , B = ,C = .

13.  = 1 /3,  = 1 / 4,

A = ,B = ,С =

14.  = 2,  = –1,

А = ,В = ,С = .

15.  = 1 / 2,  = –1 / 3,

А = ,В = ,С = .

Для вариантов 16–20 вычислить D = .

16.  = 5,  = –1 /2,

А = ,В = ,С = .

17.  = –1,  = 2,

А = ,В = ,С = .

18.  = 1 / 3,  = –1,

А = ,В = ,С =

19.  = 2,  = –1 / 4,

А = ,В =,С = .

20.  = 1 / 2,  = –3,

А = ,В = ,С = .

Для вариантов 21–25 вычислить D = .

21.  = –1,  = –1 / 2,

А = ,В = ,С = .

22.  = 3,  = 4,

А = ,В = ,С = .

23.  = 1 / 2,  = 3,

А = ,В = ,С = .

24.  = 2,  = –1,

А = ,В = ,С = .

25.  = 1 / 5,  = –2,

А = ,В = ,С =

Для вариантов 26–30 вычислить D = .

26.  = –1,  = –1 / 3,

А = ,В = ,С = .

27.  = –2,  = 3,

А = ,В = ,С = .

28.  = 1 / 2,  = 4,

А = , В = , С = .

29.  = 1 / 3,  = 1 / 4,

А = ,В = ,С = .

30.  = 2,  = –1,

А = , В = , С = .

Задание 4. Найти обратную матрицу. Сделать проверку.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

Задание 5. Найти ранг матрицы

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8.;
9. ;	10. ;
11. ;	12. ;
13. ;	14. ;
15. ;	16. ;
17. ;	18. ;
19. ;	20. ;
21.;	22. ;
23. ;	24. ;
25. ;	26. ;
27. ;	28. ;
29. ;	30. .

Задание 6. Решить системы линейных алгебраических уравнений

а) Методом Крамера (по формулам Крамера);

б) С помощью обратных матриц.

Сделать проверку.

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9. ;	10. ;
11. ;	12. ;
13. ;	14. ;
15. ;	16. ;
17. ;	18. ;
19. ;	20. ;
21. ;	22. ;
23. ;	24. ;
25. ;	26. ;
27. ;	28. ;
29. ;	30. .

Задание 7. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9. ;	10. ;
11. ;	12. ;
13. ;	14. ;
15. ;	16. ;
17. ;	18. ;
19. ;	20. ;
21. ;	22. ;
23. ;	24. ;
25. ;	26. ;
27. ;	28. ;
29. ;	30. ;

Задание 8. Решить систему линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса). Найти общее решение, базисное решение, частное решение.

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9. ;	10. ;
11. ;	12. ;
13. ;	14. ;
15. ;	16. ;
17. ;	18. ;
19. ;	20. ;
21. ;	22. ;
23. ;	24. ;
25. ;	26. ;
27. ;	28. ;
29. ;	30. ;

Задание 9. Решить однородные системы линейных.

а)

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9. ;	10. ;
11. ;	12. ;
13. ;	14. ;
15. ;	16. ;
17. ;	18. ;
19. ;	20. ;
21. ;	22. ;
23. ;	24. ;
25. ;	26. ;
27. ;	28. ;
29. ;	30. .

б)

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9. ;	10. ;
11. ;	12. ;
13. ;	14. ;
15. ;	16. ;
17. ;	18. ;
19. ;	20. ;
21. ;	22. ;
23. ;	24. ;
25. ;	26. ;
27. ;	28. ;
29. ;	30. .

Задание 10. По координатам точек A, B и C для указанных векторов найти:

а) модуль вектора ;

б) скалярное произведение векторов и;

в) проекцию вектора на вектор;

г) координаты точки M, делящей отрезок l в отношении α:β;

д) угол между векторами и;

е) направляющие косинусы вектора .

1. A(4, 6, 3), B(– 5, 2, 6), C(4, – 4, – 3),

= 4–,=,=,=,

l = AB, α = 5, β = 4.

2. A(4, 3, – 2), B(– 3, – 1, 4), C(2, 2, 1),

= – 5+ 2,=,=,=,

l = BC, α = 2, β = 3.

3. A(– 2, – 2, 4), B(1, 3, – 2), C(1, 4, 2),

= 2– 3,=,=,=,

l = BA, α = 2, β = 1.

4. A(2, 4, 3), B(3, 1, – 4), C(– 1, 2, 2),

= 2+ 4,=,=,=,

l = BA, α = 1, β = 4.

5. A(2, 4, 5), B(1, – 2, 3), C(– 1, – 2, 4),

= 3– 4,=,=,=,

l = AB, α = 2, β = 3.

6. A(– 1, – 2, 4), B(– 1, 3, 5), C(1, 4, 2),

= 3– 7,=,=,=,

l = AC, α = 1, β = 7.

7. A(1, 3, 2), B(– 2, 4, – 1), C(1, 3, – 2),

= 2+ 5,=,=,=,

l = AB, α = 2, β = 4.

8. A(2, – 4, 3), B(– 3, – 2, 4), C(0, 0, – 2),

= 3– 4,==,=,

l = AC, α = 2, β = 1.

9. A(3, 4, – 4), B(– 2, 1, 2), C(2, – 3, 1),

= 5+ 4,==,=,

l = BA, α = 2, β = 5.

10. A(0, 2, 5), B(2, – 3, 4), C(3, 2, – 5),

= – 3+ 4,==,=,

l = AC, α = 3, β = 2.

11. A(– 2, – 3, – 4), B(2, – 4, 0), C(1, 4, 5),

= 4– 8,==,=,

l = AB, α = 4, β = 2.

12. A(– 2, – 3, – 2), B(1, 4, 2), C(1, – 3, 3),

= 2– 4,==,=,

l = BC, α = 3, β = 1.

13. A(5, 6, 1), B(– 2, 4, – 1), C(3, – 3, 3),

= 3– 4,==,=,

l = BC, α = 3, β = 2.

14. A(10, 6, 3), B(– 2, 4, 5), C(3, – 4, – 6),

= 5– 2,==,=,

l = CB, α = 1, β = 5.

15. A(3, 2, 4), B(– 2, 1, 3), C(2, – 2, – 1),

= 4– 3,=,=,=,

l = AC, α = 2, β = 4.

16. A(– 2, 3, – 4), B(3, – 1, 2), C(4, 2, 4),

= 7+ 4,==,=,

l = AB, α = 2, β = 5.

17. A(4, 5, 3), B(– 4, 2, 3), C(5, – 6, – 2),

= 9– 4,==,=,

l = BC, α = 5, β = 1.

18. A(2, 4, 6), B(– 3, 5, 1), C(4, – 5, – 4),

= – 6+ 2,==,=,

l = BC, α = 1, β = 3.

19. A(– 4, – 2, – 5), B(3, 7, 2), C(4, 6, – 3),

= 9+ 3,==,=,

l = BA, α = 4, β = 3.

20. A(5, 4, 4), B(– 5, 2, 3), C(4, 2, – 5),

= 11– 6,=,=,=,

l = BC, α = 3, β = 1.

21. A(3, 4, 6), B(– 4, 6, 4), C(5, – 2, – 3),

= – 7+ 4,=,=,=,

l = BA, α = 5, β = 3.

22. A(– 5, – 2, – 6), B(3, 4, 5), C(2, – 5, 4),

= 8– 5,==,=,

l = AC, α = 3, β = 4.

23. A(3, 4, 1), B(5, – 2, 6), C(4, 2, – 7),

= – 7+ 5,==,=,

l = AB, α = 2, β = 3.

24. A(4, 3, 2), B(– 4, – 3, 5), C(6, 4, – 3),

= 8– 5,==,=,

l = BC, α = 2, β = 5.

25. A(– 5, 4, 3), B(4, 5, 2), C(2, 7, – 4),

= 3+ 2,==,=,

l = BC, α = 3, β = 4.

26. A(6, 4, 5), B(– 7, 1, 8), C(2, – 2, – 7),

= 5– 2,=,=,=,

l = AB, α = 3, β = 2.

27. A(6, 5, – 4), B(– 5, – 2, 2), C(3, 3, 2),

= 6– 3,==,=,

l = BC, α = 1, β = 5.

28. A(– 3, – 5, 6), B(3, 5, – 4), C(2, 6, 4),

= 4– 5,=,=,=,

l = BA, α = 4, β = 2.

29. A(3, 5, 4), B(4, 2, – 3), C(– 2, 4, 7),

= 3– 4,=,=,=,

l = BA, α = 2, β = 5.

30. A(4, 6, 7), B(2, – 4, 1), C(– 3, – 4, 2),

= 5– 2,==,=,

l = AB, α = 3, β = 4.

Задание 11. Даны векторы ,и. Необходимо:

а) вычислить смешанное произведение трех векторов;

б) найти модуль векторного произведения;

в) вычислить скалярное произведение двух векторов;

г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора;

д) проверить, будут ли компланарны три вектора.

1. = 2– 3+,=+ 4,= 5+ 2– 3;

а) , 3,; б) 3, 2; в), – 4; г),; д), 2,.

2. = 3+ 4+,=– 2+ 7,= 3– 6+ 21;

а) 5, 2,; б) 4, 2; в),; г),; д) 2, – 3,.

3. = 2– 4– 2,= 7+ 3,= 3+ 5– 7;

а) , 2, 3; б) 3, – 7; в),, – 2; г),; д) 3, 2, 3.

4. = – 7+ 2,= 2– 6+ 4,=– 3+ 2;

а) , – 2, – 7; б) 4, 3; в) 2, – 7; г),; д) 2, 4, 3.

5. = – 4+ 2–,= 3+ 5– 2,=+ 5;

а) , 6, 3; б) 2,; в), – 4; г),; д), 6, 3.

6. = 3– 2+,= 2–,= – 3+ 2–;

а) , – 3, 2; б) 5, 3; в) – 2, 4; г),; д) 5, 4, 3.

7. = 4–+ 3,= 2+ 3– 5,= 7+ 2+ 4;

а) 7, – 4, 2; б) 3, 5; в) 2, 4; г),; д) 7, 2, 5.

8. = 4+ 2– 3,= 2+,= – 12– 6+ 9;

а) 2, 3,; б) 4, 3; в), – 4; г),; д) 2, 3, – 4.

9. = –+ 5,= – 3+ 2+ 2,= – 2– 4+;

а) 3, – 4, 2; б) 7, – 3; в) 2, 3; г),; д) 7, 2, – 3.

10. = 6– 4+ 6,= 9– 6+ 9,=– 8;

а) 2, – 4, 3; б) 3, – 9; в) 3, – 5; г),; д) 3, – 4, – 9.

11. = 5– 3+ 4,= 2– 4– 2,= 3+ 5– 7;

а) , –4, 2; б) – 2, 4; в) – 3, 6; г),; д), –– 2, 6.

12. = – 4+ 3– 7,= 4+ 6– 2,= 6+ 9– 3;

а) – 2,, – 2; б) 4, 7; в) 5, – 3; г),; д) – 2, 4, 7.

13. = – 5+ 2– 2,= 7– 5,= 2+ 3– 2;

а) 2, 4, – 5; б) – 3, 11; в) 8, – 6; г),; д) 8, – 3, 11.

14. = – 4– 6+ 2,= 2+ 3–,= –+ 5– 3;

а) 5, 7, 2; б) – 4, 11; в) 3, – 7; г),; д) 3, 7, – 2.

15. = – 4+ 2– 3,= – 3+ 5,= 6+ 6– 4;

а) 5, –, 3; б) – 7, 4; в) 3, 9; г),; д) 3, –9, 4.

16. = – 3+ 8,= 2+ 3– 2,= 8+ 12– 8;

а) 4, – 6, 5; б) – 7, 9; в) 3, – 8; г),; д) 4, – 6, 9.

17. = 2– 4– 2,= – 9+ 2,= 3+ 5– 7;

а) 7, 5, –; б) – 5, 4; в) 3, – 8; г),; д) 7, 5, –.

18. = 9– 3+,= 3– 15+ 21,=– 5+ 7;

а) 2, – 7, 3; б) – 6, 4; в) 5, 7; г),; д) 2, – 7, 4.

19. = – 2+ 4– 3,= 5+– 2,= 7+ 4–;

а) , – 6, 2; б) – 8, 5; в) – 9, 7; г),; д), – 6, 5.

20. = – 9+ 4– 5,=– 2+ 4,= – 5+ 10– 20;

а) – 2, 7, 5; б) – 6, 7; в) 9, 4; г),; д) – 2,7, 4.

21. = 2– 7+ 5,= –+ 2– 6,= 3+ 2– 4;

а) – 3, 6, –; б) 5, 3; в) 7, – 4; г),; д) 7, – 4, 3.

22. = 7– 4– 5,=– 11+ 3,= 5+ 5+ 3;

а) 3, – 7, 2; б) 2, 6; в) – 4, – 5; г),; д) – 4, 2, 6.

23. = 4– 6– 2,= – 2+ 3+,= 3– 5+ 7;

а) 6, 3, 8; б) – 7, 6; в) – 5, 4; г),; д) – 5, 3, 4

24. = 3–+ 2,= –+ 5– 4,= 6– 2+ 4;

а) 4, – 7, – 2; б) 6, – 4; в) – 2, 5; г),; д) 6, – 7, – 2.

25. = – 3–– 5,= 2– 4+ 8,= 3+ 7–;

а) 2, –, 3; б) – 9, 4; в) 5, – 6; г),; д) 2, 5, – 6.

26. = – 3+ 2+ 7,=– 5,= 6+ 4–;

а) – 2,, 7; б) 5, – 2; в) 3,; г),; д) – 2, 3, 7.

27. = 3–+ 5,= 2– 4+ 6,=– 2+ 3;

а) – 3, 4, 5; б) 6, 3; в), 4; г),; д) – 3, 4, – 5.

28. = 4+ 5– 4,= 5–,= 2+ 4– 3;

а) , 7, – 2; б) – 5, 4; в) 8, – 3; г),; д) – 3,4, 8.

29. = – 9+ 4,= 2– 4+ 6,= 3– 6+ 9;

а) 3, – 5, – 4; б) 6, 2; в) – 2, 8; г),; д) 3, 6, .– 4.

30. = 5– 6– 4,= 4+ 8– 7,= 3– 4;

а) 5, 3, – 4; б) 4,; в) 7– 2; г),; д) 5, 4, – 2.

Задание 12. Вершины пирамиды находится в точках A, B, C и D. Вычислить:

а) площадь указанной грани;

б) площадь сечения, проходящего через середину ребра l и две вершины пирамиды;

в) объем пирамиды ABCD.

1. A( 3, 4, 5), B(1 , 2, 1), C(– 2, – 3, 6), D(3, – 6, – 3);

а) ACD; б) l = AB, C и D.

2. A(– 7, – 5, 6), B(– 2, 5, – 3), C(3, – 2, 4), D(1, 2, 2);

а) BCD; б) l = CD, A и B.

3. A(1, 3, 1), B(– 1, 4, 6), C(– 2, – 3, 4), D(3, 4, – 4);

а) ACD; б) l = BC, A и D.

4. A(2, 4, 1), B(– 3, – 2, 4), C(3, 5, –2), D(4, 2, – 3);

а) ABD; б) l = AC, B и D.

5. A(– 5, – 3, – 4), B(1, 4, 6), C(3, 2, – 2), D(8, – 2, 4);

а) ACD; б) l = BC, A и D.

6. A(3, 4, 2), B(– 2, 3, – 5), C(4, – 3, 6), D(6, – 5, 3);

а) ABD; б) l = BD, A и C.

7. A(– 4, 6, 3), B(3, – 5, 1), C(2, 6, – 4), D(2, 4, – 5);

а) ACD; б) l = AD, B и C.

8. A(7, 5, 8), B(– 4, –5, 3), C(2, –3, 5), D(5, 1, – 4);

а) BCD; б) l = BC, A и D.

9. A(3, – 2, 6), B(– 6, – 2, 3), C(1, 1, – 4), D(4, 6, – 7);

а) ABD; б) l = BD, A и C.

10. A(– 5, – 4, – 3), B(7, 3, – 1), C(6, – 2, 0), D(3, 2, – 7);

а) BCD; б) l = AD, B и C.

11. A(3, – 5, – 2), B(– 4, 2, 3), C(1, 5, 7), D(– 2, – 4, 5);

а) ACD; б) l = BD, A и C.

12. A(7, 4, 9), B(1, – 2, – 3), C(– 5, – 3, 0), D(1, – 3, 4);

а) ABD; б) l = AB, C и D.

13. A(– 4, – 7, – 3), B(– 4, – 5, 7), C(2, – 3, 3), D(3, 2, 1);

а) BCD; б) l = BC, A и D.

14. A(– 4, – 5, – 3), B(3, 1, 2), C(5, 7, – 6), D(6, – 1, 5);

а) ACD; б) l = BC, A и D.

15. A(5, 2, 4), B(– 3, 5, – 7), C(1, – 5, 8), D(9, – 3, 5);

а) ABD; б) l = BD, A и C.

16. A(– 6, 4, 5), B(5, – 7, 3), C(4, 2, – 8), D(2, 8, – 3);

а) ACD; б) l = AD, B и C.

17. A(5, 3, 6), B(– 3, – 4, 4), C(5, – 6, 8), D(4, 0, – 3);

а) BCD; б) l = BC, A и D.

18. A(5, – 4, 4), B(– 4, – 6, 5), C(3, 2, – 7), D(6, 2, – 9);

а) ABD; б) l = BD, A и C.

19. A(– 7, – 6, – 5), B(5, 1, – 3), C(8, – 4, 0), D(3, 4, – 7);

а) BCD; б) l = AD, B и C.

20. A(7, – 1, – 2), B(1, 7, 8), C(3, 7, 9), D(– 3, – 5, 2);

а) ACD; б) l = BD, A и C.

21. A(5, 2, 7), B(7, – 6, – 9), C(– 7, – 6, 3), D(1, – 5, 2);

а) ABD; б) l = AB, C и D.

22. A(– 2, – 5, – 1), B(– 6, – 7, 9), C(4, – 5, 1), D(2, 1, 4);

а) BCD; б) l = BC, A и D.

23. A(– 6, – 3, – 5), B(5, 1, 7), C(3, 5, – 1), D(4, – 2, 9);

а) ACD; б) l = BC, A и D.

24. A(7, 4, 2), B(– 5, 3, – 9), C(1, – 5, 3), D(7, – 9, 1);

а) ABD; б) l = BD, A и C.

25. A(– 8, 2, 7), B(3, – 5, 9), C(2, 4, – 6), D(4, 6, – 5);

а) ACD; б) l = AD, B и C.

26. A(4, 3, 1), B(2, 7, 5), C(– 4, – 2, 4), D(2, – 3, – 5);

а) ACD; б) l = AB, C и D.

27. A(– 9, – 7, 4), B(– 4, 3, – 1), C(5, – 4, 2), D(3, 4, 4);

а) BCD; б) l = CD, A и B.

28. A(3, 5, 3), B(– 3, 2, 8), C(– 3, – 2, 6), D(7, 8, – 2);

а) ACD; б) l = BD, A и C.

29. A(4, 2, 3), B(– 5, – 4, 2), C(5, 7, – 4), D(6, 4, – 7);

а) ABD; б) l = AD, B и C.

30. A(– 4, – 2, – 3), B(2, 5, 7), C(6, 3, – 1), D(6, – 4, 1);

а) ACD; б) l = BC, A и D.

Задание 13.Доказать, что векторы ,,образуют базис, найти координаты векторав этом базисе.

1. = (5, 4, 1),= (–3, 5, 2),= (2, –1, 3),= (7, 23, 4).

2. = (2, –1, 4),= (–3, 0, –2),= (4, 5, –3),= (0, 11, –14).

3. = (–1, 1, 2), = (2, –3, –5),= (–6, –3, –1),= (28, –19, –7).

4. = (1, 3, 4),= (–2, 5, 0),= (3, –2, –4),= (13, –5, –4).

5. = (1, –1, 1),= (–5, –3, 1),= (2, –1, 0),= (–15, –10, 5).

6. = (3, 1, 2),= (–7, –2, –4),= (–4, 0, 3),= (16, 6, 15).

7. = (–3, 0, 1),= (2, 7, –3),= (–4, 3, 5),= (–16, 33, 13).

8. = (5, 1, 2),= (–2, 1, –3),= (4, –3, 5),= (15, –15, 24).

9. = (0, 2, –3),= (4, –3, –2),= (–5, –4, 0),= (–19, –5, –4).

10. = (3, –1, 2),= (–2, 3, 1),= (4, –5, –3),= (–3, 2, –3).

11. = (5, 3, 1),= (–1, 2, –3),= (3, –4, 2),= (–9, 34, –20).

12. = (3, 1, –3),= (–2, 4, 1),= (1, –2, 5),= (1, 12, –20).

13. = (6, 1, –3),= (–3, 2, 1),= (–1, –3, 4),= (15, 6, –17).

14. = (4, 2, 3),= (–3, 1, –8),= (2, –4, 5),= (–12, 14, –31).

15. = (–2, 1, 3),= (3, –6, 2),= (–5, –3, –1),= (31, –6, 22).

16. = (1, 3, 6),= (–3, 4, –5),= (1, –7, 2),= (–2, 17, 5).

17. = (7, 2, 1),= (5, 1, –2),= (–3, 4, 5),= (26, 11, 1).

18. = (3, 5, 4),= (–2, 7, –5),= (6, –2, 1),= (6, –9, 22).

19. = (5, 3, 2),= (2, –5, 1),= (–7, 4, –3),= (36, 1, 15).

20. = (11, 1, 2),= (–3, 3, 4),= (–4, –2, 7),= (–5, 11, –15).

21. = (9, 5, 3),= (–3, 2, 1),= (4, –7, 4),= (–10, –13, 8).

22. = (7, 2, 1),= (3, –5, 6),= (–4, 3, –4),= (–1, 18, –16).

23. = (1, 2, 3),= (–5, 3, –1),= (–6, 4, 5),= (–4, 11, 20).

24. = (–2, 5, 1),= (3, 2, –7),= (4, –3, 2),= (–4, 22, –13).

25. = (3, 1, 2),= (–4, 3, –1),= (2, 3, 4),= (14, 14, 20).

26. = (3, –1, 2),= (–2, 4, 1),= (4, –5, –1),= (–5, 11, 1).

27. = (4, 5, 1),= (1, 3, 1),= (–3, –6, 7),= (19, 33, 0).

28. = (1, –3, 1),= (–2, –4, 3),= (0, –2, 3),= (–8, –10, 13).

29. = (5, 7, –2),= (–3, 1, 3),= (1, –4, 6),= (14, 9, –1).

30. = (–1, 4, 3),= (3, 2, –4),= (–2, –7, 1),= (6, 20, –3).

Задание 14. Записать общее уравнение и построить прямые, найти их угловые коэффициенты:

1. прямая задана точкой и нормальным вектором;

2. прямая задана точкой и направляющим вектором;

3. прямая задана двумя точками и;

4. прямая задана точкой и угловым коэффициентом

№
1	(1,2)	(–3,1)	(2,–1)	(3,–4)	(–5,0)	(2, –3)	(4,-1)	3
2	(2,–3)	(0,4)	(3,1)	(–2,5)	(0,–3)	(4,0)	(5,1)	–2
3	(3, 2)	(1, 1)	(8, 4)	(4, 5)	(6, 5)	(3, 2)	(6, 9)	6
4	(0, 6)	(7, 2)	(–2, 4)	(5, 7)	(4, 0)	(6, 8)	(2, 3)	–1
5	(2, 4)	(6, 4)	(5, 2)	(5, 5)	(1, 2)	(5, 7)	(8, 7)	2
6	(3, 2)	(4, 6)	(–2, –3)	(–3, 1)	(3, 0)	(0, 4)	(1, –1)	4
7	(–2, 1)	(5, 3)	(–1, 2)	(4, –1)	(7, 10)	(5, –4)	(1, –1)	–3
8	(4, 0)	(5, 6)	(1, 2,)	(3, 2)	(6, 9)	(4, 0)	(–2, 0)	5
9	(4, 10)	(3, 5)	(–2, –4)	(0, 4)	(–2, 5)	(3, 0)	(3, 2)	2
10	(6, 9)	(1, 2)	(1, –1)	(4, 5)	(3, 4)	(6, 6)	(6, 6)	3
11	(1,1)	(–1,4)	(2,6)	(–2,–1)	(3, 2)	(1, 3)	(–2, 2)	–3
12	(0, 5)	(2, 3)	(0, 0)	(–3, 1)	(1, 3)	(3, 2)	(4, 0)	–6
13	(0, 0)	(4, 0)	(1, 3)	(4, –1)	(3, 1)	(1, –2)	(2, 2)	–5
14	(2, –5)	(3, 2)	(5, –3)	(–5, 3)	(–2, 1)	(2, 2)	(3, 1)	1
15	(6, 0)	(0, 6)	(4, 6)	(0, –6)	(2, 2)	(–2, 1)	(1, –2)	1
16	(3, 2)	(2, 4)	(4, 3)	(–2, 4)	(1, –1)	(5, –2)	(–1, 3)	–4
17	(6, 3)	(5, –4)	(3, 5)	(–6, 2)	(6, 15)	(3, 0)	(4, 5)	1
18	(5, –2)	(4, 0)	(2, 5)	(1, 2)	(1, –2)	(1, –2)	(2, 2)	–5
19	(4, 2)	(3, 0)	(0, 3)	(5, –2)	(4, 0)	(1, 2)	(1, 3)	–5
20	(4, 2)	(3, 0)	(0, 2)	(5, –2)	(–5, 6)	(–5, 2)	(6, 5)	1
21	(4, 4)	(7, 10)	(2, 8)	(9, 6)	(6, 6)	(8, 4)	(8, 9)	–4
22	(4, 6)	(6, 9)	(2, 10)	(7, 5)	(8, 2)	(2, 6)	(7, 4)	–3
23	(3, 5)	(8, 7)	(5, 10)	(4, 7)	(6, 5)	(9, 5)	(6, 11)	2
24	(10, 6)	(–2, 8)	(6, 8)	(7, 10)	(2, 2)	(7, 7)	(3, 1)	–2
25	(1, 8)	(5, 2)	(5, 7)	(4, 10)	(6, 4)	(5, 5)	(6, 8)	–3
26	(6, 6)	(4, 9)	(4, 6)	(6, 9)	(7, 3)	(5, 8)	(5, 8)	–6
27	(7, 2)	(5, 7)	(5, 3)	(2, 3)	(1, 2)	(0, 0)	(2, 7)	1
28	(8, 6)	(10, 5)	(5, 6)	(8, 10)	(2, 7)	(3, 2)	(1, 2)	–1
29	(7, 7)	(6, 5)	(3, 5)	(8, 4)	(3, 2)	(2, 7)	(0, 0)	2
30	(–2, 1)	(4, 0)	(3, 2)	(1, 3)	(1, –2)	(–2, 1)	(2, 5)	3

Задание 15. Даны вершины треугольника :,,. Построить треугольник и найти:

1. уравнения сторон и;

2. уравнение высоты ;

3. уравнение медианы ;

4. точку пересечения медианыи высоты;

5. уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно стороне;

6. угол ;

7. длину высоты .

№ вар.				№ вар.
1	(–2;4)	(3;1)	(10;7)	2	(–3; –2)	(14;4)	(6;8)
3	(1;7)	(–3; –1)	(11; –3)	4	(1;0)	(–1;4)	(9;5)
5	(1; –2)	(7;1)	(3;7)	6	(–2; –3)	(1;6)	(6;1)
7	(–4;2)	(–6;6)	(6;2)	8	(4; –3)	(7;3)	(1;10)
9	(4; –4)	(8;2)	(3;8)	10	(–3; –3)	(5; –7)	(7;7)
11	(1; –6)	(3;4)	(–3;3)	12	(–4;2)	(8; –6)	(2;6)
13	(–5;2)	(0; –4)	(5;7)	14	(4; –4)	(6;2)	(–1;8)
15	(–3;8)	(–6;2)	(0; –5)	16	(6; –9)	(10; –1)	(–4;1)
17	(4;1)	(–3; –1)	(7; –3)	18	(–4;2)	(6; –4)	(4;10)
19	(3; –1)	(11;3)	(–6;2)	20	(–7; –2)	(–7;4)	(5; –5)
21	(–1; –4)	(9;6)	(–5;4)	22	(10; –2)	(4; –5)	(–3;1)
23	(–3; –1)	(–4; –5)	(8;1)	24	(–2; –6)	(–3;5)	(4;0)
25	(–7; –2)	(3; –8)	(–4;6)	26	(0;2)	(–7; –4)	(3;2)
27	(7;0)	(1;4)	(–8; –4)	28	(1; –3)	(0;7)	(–2;4)
29	(–5;1)	(8; –2)	(1;4)	30	(2;5)	(–3;1)	(0;4)

Задание 16. Решить следующие задачи.

1 вариант. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых иотсекающей на оси абсцисс отрезок, равный 3.

2 вариант. Найти проекцию точки А (–8,12) на прямую, проходящую через точки В (2,–3) и С(–5,1).

3 вариант. Даны две вершины треугольника ABC: A (–4,4), В(4, –12) и точка М(4,2) пересечения его высот. Найти вершину С.

4 вариант. Найти уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок, равный 2, и проходящей параллельно прямой

5 вариант. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(2,–3) и точку пересечения прямых и

6 вариант. Доказать, что четырехугольник A B C D – трапеция, если А(3, 6), В(5, 2), С(–1,–3), D(–5,5).

7 вариант. Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(3,1) перпендикулярно к прямой ВС, если В(2,5), С(1,0).

8 вариант. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(–2,1) параллельно прямой MN, если М(–3, –2), N(1,6).

9 вариант. Найти точку, симметричную точке М(2,–1) относительно прямой .

10 вариант. Найти точку О пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, если А(–1, –3), В(3,5), С(5,2), D(3, –5).

11 вариант. Через точку пересечения прямых ,провести прямую, параллельную оси абсцисс.

12 вариант. Известны уравнения стороны АВ треугольника ABC , его высот ВН АМ.Найти уравнения двух других сторон треугольника ABC.

13 вариант. Даны две вершины треугольника ABC A(–6,2), В(2,–2) и точка пересечения его высот H(1,2). Найти координаты точки М пересечения стороны АС и высоты ВН.

14 вариант. Найти уравнения высот треугольника ABC, проходящих через вершины А и В, если А(–4,2), B(3, –5), С(5,0).

15 вариант. Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, проведенных через середины сторон треугольника, вершинами которого служат точки А(2,3), В(0,–3), С(6, –3).

16 вариант. Составить уравнение высоты, проведенной через вершину А треугольника ABC, зная уравнения его сторон: (АВ), (АС), (ВС).

17 вариант. Дан треугольник с вершинами А(3,1), В(–3, –1) и С(5,–12). Найти уравнение медианы, проведенной из вершины С, и вычислить ее длину.

18 вариант. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения прямых и

19 вариант. Найти уравнения перпендикуляров к прямой , проведенных через точки пересечения данной прямой с осями координат.

20 вариант. Даны уравнения сторон четырехугольника: ,,,. Найти уравнения его диагоналей.

21 вариант. Составить, уравнения медианы СМ и высоты СК треугольника ABC, если А(4,6), В(–4,0), С(–1,–4).

22 вариант. Через точку Р(5, 2) провести прямую: а) отсекающую равные отрезки на осях координат; б) параллельную оси Ох; в) параллельную оси Оу.

23 вариант. Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(–2,3) и составляющей с осью Ох угол: а) 45°; б) 90°; в) 0°.

24 вариант. Какую ординату имеет точка С, лежащая на одной прямой с точками А(–6,–6) и В(–3, –1) и имеющая абсциссу, равную 3?

25 вариант. Через точку пересечения прямых ипровести прямую, делящую отрезок между точкамиА(4 –3) и В(–1,2) в отношении =2/3.

26 вариант. Известны уравнения двух сторон ромба ии уравнение одной из его диагоналей. Найти уравнение второй диагонали.

27 вариант. Найти точку Е пересечения медиан треугольника, вершинами которого являются точки А(–3,1), В(7,5) и С(5, –3).

28 вариант. Записать уравнения прямых, проходящих через точку А(–1,1) под углом 45° к прямой .

29 вариант. Даны уравнения высот треугольника ABC , и координаты его вершины А(2,3). Найти уравнения сторон АВ и АС треугольника.

30 вариант. Даны уравнения двух сторон параллелограмма ,и точка пересечения его диагоналейМ(3,–1). Найти уравнения двух других сторон.

Задание 17. Написать общее уравнение и построить плоскости заданные следующим образом:

1. точкой и нормальным вектором;

2. отрезками и, отсекаемыми данной плоскостью на осях координатисоответственно;

3. тремя точками ,и;

4. двумя точками ии направляющим (параллельным) вектором;

5. найти косинус угла между плоскостями из п.1) и 2);

6. найти расстояние от точки до плоскости из п. 3).

1 вариант. 1) ,; 2) ,,; 3) ,,; 4) ,,	2 вариант. 1) ,; 2) ,,; 3) ,,; 4) ,,
3 вариант. 1) ,; 2) ,,; 3) ,,; 4) ,,	4 вариант. 1) ,; 2) ,,; 3) ,,; 4) ,,
5 вариант. 1) ,; 2) 2, 4, –1; 3) ,,; 4) ,,	6 вариант. 1) ,; 2) –3, 5, 1; 3) ,,; 4) ,,
7 вариант. 1) ,; 2) 4, –3, 1; 3) ,,; 4) ,,	8 вариант. 1) ,; 2) –5, 2, 4; 3) ,,; 4) ,,
9 вариант. 1) ,; 2) 3, 4, –1; 3) ,,; 4) ,,	10 вариант. 1) ,; 2) 1, 4, –2; 3) ,,; 4) ,,
11 вариант. 1) ,; 2) 4, –3, 5; 3),,; 4) ,,	12 вариант. 1) ,; 2) 3, 1, –4; 3),,; 4) ,,
13 вариант. 1) ,; 2) 3, –2, 1; 3),, 4) ,,	14 вариант. 1) ,; 2) –2, –1, 4; 3) ,,; 4) ,,
15 вариант. 1) ,; 2) 4, –5, –3; 3) ,,; 4) ,,	16 вариант. 1) ,; 2) –5, 3, 1; 3),,; 4) ,,
17 вариант. 1) ,; 2) 4, 5, 1; 3) ,,; 4) ,,	18 вариант. 1) ,; 2) –2, 4, –3; 3) ,,; 4) ,,
19 вариант. 1) ,; 2) 2, –1, 5; 3) ,,; 4) ,,	20 вариант. 1) ,; 2) –3, 5, 2; 3) ,,; 4) ,,
21 вариант. 1) ,; 2) –4, 4, 3; 3) ,,; 4) ,,	22 вариант. 1) ,; 2) 2, –4, 1; 3) ,,; 4) , ,
23 вариант. 1) ,; 2) –1, 5, –3; 3) ,,; 4) ,,	24 вариант. 1) ,; 2) –2, 4, 1; 3) ,,; 4) ,,
25 вариант. 1) ,; 2) 4, 2, 1; 3) ,,; 4) ,,	26 вариант. 1) ,; 2) 3, 4, –3; 3) ,,; 4) ,,
27 вариант. 1) ,; 2) 5, –1, 2; 3) ,,; 4) ,,	28 вариант. 1) ,; 2) –2, 4, 1; 3) ,,; 4) ,,
29 вариант. 1) ,; 2) 2, 3, 4; 3) ,,; 4) ,,	30 вариант. 1) ,; 2) –4, 3, 1; 3) ,,; 4) ,,

Задание 18. Даны 4-е точки ,,и. Составить уравнения:

1. плоскости ;

2. плоскости, проходящей через т. перпендикулярно вектору;

3. плоскости, проходящей через т. и, параллельно вектору

Вычислить:

4. косинус угла между координатной плоскостью и плоскостью

1 вариант. ,,,.

2 вариант. (0, 5, 0),(2, 3, –4),(0, 0, –6),(–3, 1, –1).

3 вариант. (0, 0, 6),(4, 0, –4),(1, 3, –1),(4, –1, –3).

4 вариант. (2, –5, 3),(3, 2, –5),(5, –3, –2),(–5, 3, 2).

5 вариант. (6, 0, 4),(0, 6, 4),(4, 6, 0),(0, –6, 4).

6 вариант. (3, 2, 4),(2, 4, 3),(4, 3, –2),(–2, –4,–3).

7 вариант. (6, 3, 5),(5, –4, 3),(3, 5, 6),(–6, –1, 2).

8 вариант. (5, –2, –1),(4, 0, 0),(2, 5, 1),(1, 2, 5).

9 вариант. (4, 2, 5),(3, 0, 4),(0, 0, 3),(5, –2, –4).

10 вариант. (4, 2, –5),(3, 0, 4),(0, 2, 3),(5, –2, –4).

11 вариант. (4, 4, 10),(7, 10, 2),(2, 8, 4),(9, 6, 9).

12 вариант. (4, 6, 5),(6, 2, 4),(2, 4, 4),(1, 5, –3).

13 вариант. (3, 5, 4),(6, 5, 4),(5, 0, 4),(4, –2, 3).

14 вариант. (0, 6, 6),(–2, 6, 4),,(6, 4, 1)(–2, 0, 3).

15 вариант. (1, 4, 2),(5, 2, 6),(5, –3, 4),(4, 0, 6).

16 вариант. (6, 6, 5),(4, 2, 5),(4, 6, 1),(6, –4, 3).

17 вариант. (4, 2, 2),(5, 1, 1),(5, 3, 1),(2, 3, 4).

18 вариант. (–1, 6, 4),(1, 5, 5),(5, 6, 0),(3, 3, 6).

19 вариант. (2, 1, 3),(6, 5, –1),(3, 5, 2),(0, 4, 1).

20 вариант. (–2, 1, 2),(4, 0, 0),(3, 2, 6),(1, 3, 2).

21 вариант. (3, 2, 4),(1, 3, 2),(–2, 1, 2),(4, 0, 0).

22 вариант. (1, 3, 2),(3, 2, 0),(4, 0, 0),(–2, 1, 2).

23 вариант. (3, 1, –2),(1, –2, 1),(2, 2, 5),(–2, 1, 0).

24 вариант. (–2, 1, 0),(2, 2, 5),(3, 1, 2),(1, –2, 1).

25 вариант. (2, 2, 5),(–2, 1, 0),(1, –2, 1),(3, 1, 2).

26 вариант. (1, –1, 6),(4, 5, –2),(–1, 3, 0),(1, –1, 5).

27 вариант. (6, 1, 5),(–1, 3, 0),(4, 5, –2),(1, –1, 6).

28 вариант. (1, –2, 1),(3, 1, –2),(2, 2, 5),(–2, 1, 0).

29 вариант. (4, 0, 0),(–2, 1, 2),(1, 3, 2),(3, 2, 5).

30 вариант. (–5, 6, –1),(6, –5, 2),(6, 5, 1),(0, 0, 2).

Задание 19. Решить следующие задачи.

1 вариант. При каком значении С плоскости иперпендикулярны?

2 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка М₁М₂ перпендикулярно к этому отрезку, если ,.

3 вариант. Найти расстояние от точки до плоскости.

4 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскостиОху.

5 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и точку .

6 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ,параллельно осиОу.

7 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ипараллельно осиОх.

8 вариант. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку параллельно плоскости.

9 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки,параллельно вектору.

10 вариант. Составить уравнение плоскости в "отрезках", если она проходит через точку и отсекает на осиОх отрезок , а на осиOz – отрезок .

11 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторами.

12 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ,перпендикулярно к плоскости.

13 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям и.

14 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки,параллельно вектору.

15 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к вектору, если ,.

16 вариант. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку параллельно плоскости.

17 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к отрезку, если ,.

18 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к отрезку, если ,.

19 вариант. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно координатной плоскостиOxz.

20 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку .

21 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ипараллельно осиOz.

22 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ипараллельно осиOу.

23 вариант. Найти проекцию точки на плоскость.

24 вариант. Определить, при каком значении В плоскости ибудут перпендикулярны.

25 вариант. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку и отсекает на осях координат отличные от нуля отрезки одинаковой величины.

26 вариант. При каких значениях А и В плоскость параллельна плоскости.

27 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ,перпендикулярно к плоскости.

28 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к плоскостям и.

29 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ипараллельно вектору.

30 вариант. Определить, при каком значении С плоскости ибудут перпендикулярны.

Задание 20. Даны точки ,,и. Составить уравнения:

1) прямой ;

2) прямой , параллельной прямой;

3) прямой , перпендикулярной плоскости;

4) вычислить косинус угла между прямыми и;

5) вычислить синус угла между прямой и плоскостью. Найти координаты точки пересечения этой прямой и плоскости;

6) найти расстояние от т. до прямой.

1 вариант. ,,,.

2 вариант. ,,,.

3 вариант. ,,,.

4 вариант. ,,,.

5 вариант. ,,,.

6 вариант. ,,,.

7 вариант. ,,,.

8 вариант. ,,,.

9 вариант. ,,,.

10 вариант. ,,,.

11 вариант. ,,,.

12 вариант. ,,,.

13 вариант. ,,,.

14 вариант. ,,,.

15 вариант. ,,,.

16 вариант. ,,,.

17 вариант. ,,,.

18 вариант. ,,,.

19 вариант. ,,,.

20 вариант. ,,,.

21 вариант. ,,,.

22 вариант. ,,,.

23 вариант. ,,,.

24 вариант. ,,,.

25 вариант. ,,,.

26 вариант. ,,,.

27 вариант. ,,,.

28 вариант. ,,,.

29 вариант. ,,,.

30 вариант. ,,,.

Задание 21. Построить кривые и записать их уравнения.

1. Окружность а) с центром в т. и радиусом;

б) с центром в т. и радиусом.

2. Эллипс а) с центром в т. и полуосямии;

б) с центром в т. и полуосямии.

3. Гипербола а) с центром в т. и полуосями- действительной,- мнимой и

сопряженную с ней гиперболу;

б) с центром в т. и полуосями- действительной,- мнимой

4. Парабола а) с вершиной в т. , параметром, ветви которой направлены

- вправо,

- влево,

- вверх,

- вниз;

б) с вершиной в т. и параметром, ветви направлены вниз.

№ вар.
1	(1;–2)	2	3	1	2	5	4	1	2
2	(3;0)	3	1	2	1	4	3	2	1
3	(–2;3)	4	2	2	3	3	2	1	3
4	(–1; 2)	1	3	2	4	3	1	2	3
5	(4, 5)	3	3	3	4	5	2	2	1
6	(5, 3)	1	2	4	5	4	3	2	1
7	(5, 3)	2	4	3	4	5	4	3	1
8	(3, 5)	1	3	2	4	2	1	2	3
9	(3, 2)	2	1	1	3	2	1	1	2
10	(–2, 1)	1	2	2	4	3	2	1	2
11	(4, 0)	3	4	2	5	4	1	2	3
12	(4, 5)	2	1	1	3	5	4	2	1
13	(6, 1)	4	3	2	3	5	3	3	1
14	(1, 2)	3	5	2	4	3	2	2	4
15	(1, –1)	1	2	2	5	5	4	3	1
16	(4, 5)	4	3	2	3	2	1	1	4
17	(3, 4)	1	2	2	4	4	2	2	5
18	(4, –2)	2	1	3	5	4	3	1	2
19	(0, –3)	3	4	2	3	4	2	3	4
20	(–2, 5)	1	1	4	5	3	1	2	3
21	(–3, 1)	1	5	3	4	2	1	4	1
22	(4, –1)	5	1	4	5	4	3	2	3
23	(3, 2)	1	5	2	5	5	4	3	3
24	(0, 4)	3	5	1	3	3	2	5	3
25	(–2, –3)	1	2	4	5	4	3	1	3
26	(–1, 2)	2	3	2	4	2	1	2	5
27	(1, –2,)	3	3	2	5	3	2	3	1
28	(–2, –4)	4	2	2	3	5	3	2	4
29	(4, 6)	1	4	1	2	3	2	3	1
30	(3, 5)	3	5	1	4	4	3	2	3

Задание 22. Решить задачи и построить фигуры.

1 вариант. Составить канонические уравнения: а) параболы, если ее фокус имеет координаты (0; –3); б) эллипса, если его эксцентриситет , большая полуосьа = 3; в) гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10, а расстояние между вершинами равно 8.

2 вариант. Составить канонические уравнения: а) эллипса, зная, что расстояние между фокусами равно 24 и большая полуось равна 26; б) гиперболы, если действительная полуось равна 5 и эксцентриситет 3;в) параболы, директриса которой имеет уравнение x + 2 = 0.

3 вариант. Составить канонические уравнения: а) эллипса, если большая полуось равна 5, а расстояние между фокусами – 8; б) гиперболы, если она равносторонняя и проходит через точку M(2, 1); в) параболы, фокус которой имеет координаты (–5, 0).

4 вариант. Составить канонические уравнения: а) эллипса, если большая полуось равна 10 и эксцентриситет равен 0,8; б) гиперболы, асимптоты которой заданы уравнениями y=±2x и фокусы находятся на расстоянии равном 5 от центра; в) параболы, симметричной относительно оси ординат и проходящей через точку М(5, 1).

5 вариант. Составить канонические уравнения: а) эллипса, если эксцентриситет , а расстояние между фокусами равно 6;б) гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10, а расстояние между вершинами – 8; в) параболы, директриса которой имеет уравнение у + 6 = 0.

6 вариант. Составить канонические уравнения: а) эллипса, расстояние, между директрисами которого равно , а;б) гиперболы, если расстояние между директрисами равно 8/5 и эксцентриситет;в) параболы, если она проходит через точку (–4, 4) и симметрична относительно оси Ох.

7 вариант. Составить канонические уравнения: а) эллипса, расстояние, между директрисами которого равно 12, а большая ось равна ;б) параболы, симметричной относительно оси абсцисс и проходящей через точку М(–1, 2); в) Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет гиперболы, заданной каноническим уравнением .

8 вариант. а) Составить канонические уравнения: а) эллипса, если его эксцентриситет, а малая полуосьb = 2; б) параболы, симметричной относительно оси ординат и проходящей через точку ;в) Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет гиперболы, заданной каноническим уравнением .

9 вариант. Составить канонические уравнения: а) эллипса, расстояние, между фокусами которого равно 8, а эксцентриситет;б) гиперболы, действительная полуось которого равна 20 , и гипербола проходит через точку N(–10, 4); в) параболы, фокус которой имеет координаты (0, –3).

10 вариант. Составить канонические уравнения: а) эллипса, сумма полуосей которого равна 18 и расстояние между фокусами – 12; б) гиперболы, если даны уравнения ее асимптот y=±5x /12 и координаты точки М(24, 5), лежащей на гиперболе; в) параболы, директриса которой имеет уравнение х – 15 = 0.

11 вариант. Составить канонические уравнения: а) параболы, симметричной относительно оси Оx, с вершиной в начале координат и проходящей через точку А(–2, –3); б) эллипса, если его большая полуось равна 12, а эксцентриситет равен 0,8; в) гиперболы проходящей через точку () и имеющей мнимую полуось равную 2.

12 вариант. Составить канонические уравнения: а) эллипса, если малая полуось равна 24, а расстояние между фокусами 2с = 10; б) гиперболы, если расстояние между фокусами равно 6 и эксцентриситет ;в) параболы, расположенной в правой полуплоскости симметрично относительно оси Оx, если ее параметр р = 3.

13 вариант. Составить канонические уравнения: а) гиперболы, если уравнения асимптот y=±4x / 3 и расстояние между фокусами 2с = 20; б) эллипса, если расстояние между фокусами 2с = 6 и эксцентриситет ;в) параболы, симметричной относительно оси Оx и проходящей через точку

А(9; 6).

14 вариант. Составить канонические уравнения: а) гиперболы, если ее расстояние между фокусами 2с = 10 и мнимая ось равна 8; б) параболы, которая имеет фокус F(0; –3), проходит через начало координат и симметрична относительно оси ординат; в) эллипса, если большая ось равна 10, а расстояние между фокусами – 8.

15 вариант. Составить канонические уравнения: а) эллипса, если его полуоси равны соответственно 7 и 2; б) гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат и даны точки и, принадлежащие гиперболе;в) параболы, расположенной в нижней плоскости симметрично относительно оси Оу и ее параметр равен 3.

16 вариант. Составить канонические уравнения: а) гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы в вершинах эллипса ;б) эллипса, если расстояние между фокусами равно 24, и эксцентриситет равен ;в) параболы, симметричной относительно оси абсцисс и проходящей через точки (0, 0) и (1, –3).

17 вариант. Составить канонические уравнения: а) параболы, расположенной симметрично относительно оси абсцисс и проходящей через точку В(–1; 3); б) гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат и даны координаты точки, принадлежащей гиперболе, и уравнения асимптот ; в) эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если даны точка, принадлежащая эллипсу, и его малая ось равная 3.

18 вариант. Составить канонические уравнения: а) эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если даны точки ипринадлежащие эллипсу;б) гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, кроме того, расстояние между ними 20, а эксцентриситет;в) параболы, если дано уравнение директрисы х – 5 = 0.

19 вариант. Составить канонические уравнения: а) эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если даны точка и эксцентриситет;б) гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, кроме того, уравнения асимптот и расстояние между вершинами равно 48;в) параболы, если уравнение ее директрисы y + 1 = 0.

20 вариант. Составить канонические уравнения: а) параболы, проходящей через начало координат и точку D(4, –8), расположенной симметрично относительно оси ординат; б) эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если даны точка принадлежащая эллипсу и расстояние между фокусами 2с = 8; в) гиперболы, проходящей через точки А(2, 1) и В().

21 вариант. Составить канонические уравнения: а) эллипса, проходящего через точки М₁(2; 3), М₂(0; 2); б) параболы, если ее фокус F(4; 0) и вершина совпадает с началом координат. в) Для гиперболы, заданной уравнением найти длины полуосей, фокусы, уравнения асимптот.

22 вариант. а) Составить каноническое уравнение гиперболы, если она проходит через точку М() и ее эксцентриситет .б) Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса .в) Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы y²⁼12x .

23 вариант. а) Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы x² =8y . б) Вычислить координаты фокусов и уравнения директрис гиперболы ;в) Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки ,.

24 вариант. а) Определить длины полуосей и координаты фокусов эллипса x²+3y²=6 . б) Составить каноническое уравнение гиперболы, пересекающей ось Оу и проходящей через точки М(), N(0, 5); в) Найти координаты фокуса и уравнения директрисы параболы .

25 вариант. а) Составить каноническое уравнение эллипса, полуоси которого равны, соответственно 3 и 6. б) Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса ;в) Найти координаты фокусов и уравнение директрисы параболы y²=6x .

26 вариант. а) Составить каноническое уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках А₁(8, 0) и А₂ (–8, 0), а фокусы – в вершинах F₁(5, 0) и F₂(–5, 0). б) Написать каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точку (2, 1) и асимптоты которой .в) Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, для которой директрисой служит прямая х = –2.

27 вариант.а) Дан эллипс и точка на нем с абсциссой, равной 3. Найти ее ординату.б) Найти координаты фокусов гиперболы .в) Написать каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат и директрисой x = 3.

28 вариант. а) Написать каноническое уравнение гиперболы, если ее фокусы находятся в точках F₁(–4, 0) и F₂(4, 0) и длина действительной оси равна 6. б) Составить каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом F(0, –5). в) Найти уравнение равносторонней гиперболы, проходящей через точку (3,–1).

29 вариант. а) Определить фокусы и полуоси эллипса .б) Составить каноническое уравнение гиперболы, если действительная ось равна 16, а угол между асимптотой и осью абсцисс определяется условием .в) Составить каноническое уравнение параболы, если расстояние от фокуса до вершины равно 3.

30 вариант. а) Составить каноническое уравнение эллипса, если большая полуось равна 26 и эксцентриситет .б) Составить каноническое уравнение параболы, если расстояние от фокуса до директрисы равно 2. в) Определить полуоси, фокусы и асимптоты гиперболы .

Задание 23. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка , определить тип линии и построить эту кривую.

№ вар.	Коэффициенты уравнений кривой						№ вар		Коэффициенты уравнений кривой
	A	C	D	E	F			A		C	D	E	F
1	1	1	–6	10	–15	2		1		4	0	–1	–5
3	2	0	8	–1	12	4		9		4	–54	–32	109
5	4	–9	–8	–36	–68	6		4		9	–40	36	100
7	9	–26	–54	–64	–127	8		3		3	–24	12	58
9	5	1	10	–6	–6	10		1		–1	6	0	8
11	1	7	6	–28	–12	12		3		–8	–6	–24	–36
13	9	4	18	–8	–19	14		2		0	–4	–1	–4
15	9	–4	–36	–8	–4	16		4		4	–12	4	–3
17	9	5	18	–30	9	18		36		–4	–72	16	–88
19	–4	9	16	18	29	20		4		36	–16	72	–92
21	9	4	54	8	49	22		1		4	–2	56	181
23	7	–2	–42	–16	17	24		9		–4	0	24	–72
25	–1	4	–4	8	–4	26		1		1	6	–4	0
27	1	1	–4	6	0	28		1		4	4	–16	–8
29	9	–4	–36	–8	–4	30		25		9	–100	54	–44

Задание 24. Даны уравнения линии в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам на промежутке отдос шагом, равным; 2) найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) назвать линию, найти координаты центра и полуоси.

1. .	2. .	3. .
4. .	5. .	6. .
7. .	8. .	9. .
10. .	11. .	12. .
13. .	14. .	15. .
16. .	17. .	18. .
19. .	20. .	21. .
22. .	23. .	24. .
25. .	26.	27. .
28.	29. .	30. .