1. Решение волнового уравнения блоком Given…Pdesolve.

Волновое уравнение играет исключительную роль в электротехнике для анализа электромагнитных колебаний в системах с распределёнными параметрами, колебаний контактной подвески системы электрической тяги и многих других явлений. В качестве примера здесь рассматривается однородное уравнение.

Как известно [ ], однородное волновое уравнение записывается в виде:

(6.1)

с начальными условиями ( при ):

, (6.2)

и граничными условиями (при и при):

и , (6.3)

где - заданная функция аргумента,

и - заданные функции аргумента.

Подстановкой: , уравнение (6.1) приводится к системе двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка:

1)

2) (6.4)

Соответственно изменяются и начальные условия, которые принимают вид:

и . (6.5)

При этом граничные условия записываются в прежнем виде:

и . (6.6)

Пример решения волнового уравнения решающим блоком Given… Pdesolve приведен на рис. 6.1.

Рис. 6.1. Решение однородного волнового уравнения.

6.1.2. Решение уравнения теплопроводности блоком Given…Pdesolve.

Уравнение теплопроводности является одним из важнейших уравнений математической физики и часто используется в приложениях. Кроме переноса теплоты проводимостью уравнение описывает также диффузию частиц в среде.

В общем случае неоднородное уравнение теплопроводности записывается в следующем виде:

, (6.7)

где - температура тела;

- удельная теплоёмкость материала тела;

- плотность теплопроводящего тела;

- коэффициент теплопроводности;

- коэффициент конвективной теплоотдачи;

- температура окружающей среды;

- функция теплового источника.

При отсутствии теплообмена с окружающей средой и теплового контакта с другими телами решение уравнения определяется целиком начальными и граничными условиями.

В одномерном случае ( при ) уравнение теплопроводности описывает, например, распространение теплоты в неоднородном стержне, если:

(6.8)

Для решения уравнения (6.8) необходимо задавать начальные условия (при t=t₀) и граничные условия ( при и- на левом и правом концах отрезка пространственной координатыxв одномерном случае).

Пример решения неоднородного уравнения теплопроводности достаточно общего вида с использованием блока Given…Pdesolveприведен на рис. 6. 2.

Рис. 6.2. Решение уравнения теплопроводности.

6.2. Решение уравнений в частных производных методом конечных разностей (решающая функция multigrid).

Одним из основных уравнений в теории поля является уравнение Пуассона, которое для двумерной области записывается в следующем виде:

(6.9)

Если правая часть , то уравнение превращается в уравнение Лапласа:

(6.10)

В MathCad решение уравнения Пуассона производится методом конечных разностей и только для квадратной области, состоящей из точек. Для этого случая лапласиан представляется приближенно в следующем виде:

(6.11)

где - матрицы коэффициентов;

- индексы точек области интегрирования.

Поскольку область интегрирования является квадратом, то граничные условия задаются для каждой из его 4-х сторон.

В Mathcad имеются две функции multigrid и relax, которые реализуют алгоритм решения уравнения Пуассона методом конечных разностей.

В частном случае нулевых граничных условий используется функция multigrid , в общем случае граничных условий – функция relax.