Вычисление определителей
Вычисление определителей зависит от порядка определителя. Рассмотрим вычисление определителя второгопорядка:
,
т.е. определитель второго порядка равен произведению элементов, находящихся на главной диагонали минус произведение элементов, находящихся на побочной диагонали.
Вычисление определителей третьегопорядка можно произвести различными способами. Рассмотрим их подробнее с наглядными примерами. Подчеркнем, что первые три способа относятся к вычислению определителей толькоIII-го порядка.
1 способ. По определению (по правилу треугольников).
Рассмотрим сначала в общем виде:
Схематическая запись этого правила выглядит следующим образом:
+ –
2 способ. По правилу Саррюса.
Схематически:
–
+
В результате этот способ сводиться к подсчету по определению, т.е. к Iспособу.
3 способ. По правилу Фридерищева.
4 способ. Вычисление определителя с помощью разложения по элементам ряда.
Если первые три способа относятся к вычислению определителей только третьего порядка, то этот способ и следующие применимы и к определителям третьего и выше порядков.
Итак, определитель равен сумме произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения:
Введем новые понятия:
здесь
- это алгебраические дополнения, каждое
из которых соответствует элементу, т.е.
соответствует элементу
,
элементу
.
Алгебраические дополнения определяются по формуле:
где
- минор, также соответствующий элементу.
Минором
элемента
называется определитель
-го
порядка
,
полученный из определителя
-го
порядка
вычеркиванием
-й
строки и
-го
столбца (на пересечении которых стоит
элемент).
5 способ. Вычисление определителя методом обнуления элементов какого-либо ряда.
В этом способе используется 7-е свойство определителей (из раздела 1.1). Способ будем рассматривать на примерах.
6 способ. Приведение определителя к треугольному виду.
В этом способе также используется 7-е свойство определителей (из раздела 1.1). Способ будем рассматривать на примерах.
Пример 1.1.
Вычислить определитель третьего порядка:
1 способ.По определению:
2 способ.По правилу Саррюса:
3 способ.По правилу Фридерищева:
4 Способ.
а). Разложив по элементам третьей строки:
б). Разложив по элементам второго столбца:
5 Способ.
а). Получив нули в третьем столбце.
Когда получают нули в столбце, то работают со строчками. Схематически будем работать так:
Это
означает, что элементы первой строки
умножим на
и сложим с соответствующими элементами
второй строки, затем элементы первой
строки умножим на 5 и сложим с
соответствующими элементами третьей
строки.
Итак:
Теперь вычислим определитель, разложенный по элементам третьего столбца:
б). Получив нули во второй строке (значит будем работать со столбцами).
+
+
6 Способ.
Преобразовав его к треугольному виду:
Можно
еще раз убедиться в том, что вычисляя
один и тот же определитель любым способом,
мы получили одно и то же число
.
Пример 1.2.
Вычислить определитель четвертого порядка
Получив нули в 1 строке (значит работать будем со столбцами)
Приведя к треугольному виду
+
+
+
