- •2125 Министерство транспорта российской федерации
- •Определители
- •Определение и свойства определителя
- •Основные свойства
- •Вычисление определителей
- •4 Способ.
- •5 Способ.
- •6 Способ.
- •Задания
- •Матрицы
- •Матрицы и операции над ними
- •Линейные операции над матрицами
- •Элементарные преобразования матрицы. Ранг матрицы
- •Задания
- •Обратная матрица
- •Системы линейных алгебраических уравнений
- •Теорема Кронекера-Капелли
- •Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •А) методом Гаусса
- •Библиографический список
Вычисление определителей
Вычисление определителей зависит от порядка определителя. Рассмотрим вычисление определителя второгопорядка:
,
т.е. определитель второго порядка равен произведению элементов, находящихся на главной диагонали минус произведение элементов, находящихся на побочной диагонали.
Вычисление определителей третьегопорядка можно произвести различными способами. Рассмотрим их подробнее с наглядными примерами. Подчеркнем, что первые три способа относятся к вычислению определителей толькоIII-го порядка.
1 способ. По определению (по правилу треугольников).
Рассмотрим сначала в общем виде:
Схематическая запись этого правила выглядит следующим образом:
+ –
2 способ. По правилу Саррюса.
Схематически:
–
+
В результате этот способ сводиться к подсчету по определению, т.е. к Iспособу.
3 способ. По правилу Фридерищева.
4 способ. Вычисление определителя с помощью разложения по элементам ряда.
Если первые три способа относятся к вычислению определителей только третьего порядка, то этот способ и следующие применимы и к определителям третьего и выше порядков.
Итак, определитель равен сумме произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения:
Введем новые понятия:
здесь - это алгебраические дополнения, каждое из которых соответствует элементу, т.е.соответствует элементу,элементу.
Алгебраические дополнения определяются по формуле:
где - минор, также соответствующий элементу.
Минором элементаназывается определитель-го порядка, полученный из определителя-го порядкавычеркиванием-й строки и-го столбца (на пересечении которых стоит элемент).
5 способ. Вычисление определителя методом обнуления элементов какого-либо ряда.
В этом способе используется 7-е свойство определителей (из раздела 1.1). Способ будем рассматривать на примерах.
6 способ. Приведение определителя к треугольному виду.
В этом способе также используется 7-е свойство определителей (из раздела 1.1). Способ будем рассматривать на примерах.
Пример 1.1.
Вычислить определитель третьего порядка:
1 способ.По определению:
2 способ.По правилу Саррюса:
3 способ.По правилу Фридерищева:
4 Способ.
а). Разложив по элементам третьей строки:
б). Разложив по элементам второго столбца:
5 Способ.
а). Получив нули в третьем столбце.
Когда получают нули в столбце, то работают со строчками. Схематически будем работать так:
Это означает, что элементы первой строки умножим на и сложим с соответствующими элементами второй строки, затем элементы первой строки умножим на 5 и сложим с соответствующими элементами третьей строки.
Итак:
Теперь вычислим определитель, разложенный по элементам третьего столбца:
б). Получив нули во второй строке (значит будем работать со столбцами).
+
+
6 Способ.
Преобразовав его к треугольному виду:
Можно еще раз убедиться в том, что вычисляя один и тот же определитель любым способом, мы получили одно и то же число .
Пример 1.2.
Вычислить определитель четвертого порядка
Получив нули в 1 строке (значит работать будем со столбцами)
Приведя к треугольному виду
+
+
+