Раздел II математическая статистика 73
Лекция 1. Генеральная совокупность. Выборка. Способы образования выборки. Статистическая оценка параметров распределения. 73
Задача статистической оценки параметров 74
Точечные оценки основных параметров распределений 75
Лекция 2. Законы распределения выборочных характеристик, используемые при оценке параметров. Интервальные оценки параметров распределения. 80
1. Распределение средней арифметической. 80
2. Распределение Пирсона (- хи квадрат). 80
3. Распределение Стьюдента (t-распределение). 81
Интервальная оценка параметра распределения. Понятие доверительного интервала. 82
Интервальные оценки для генеральной средней. 83
Интервальные оценки для генеральной доли 86
Интервальные оценки для генеральной дисперсии и среднего квадратического отклонения 87
Лекция 3. Проверка статистических гипотез о значении параметров распределения. 90
Понятие статистической гипотезы и статистического критерия. 90
1. Проверка гипотезы о значении генеральной средней 92
нормально распределённой совокупности 92
2. Проверка гипотезы о значении генеральной дисперсии 93
нормально распределённой совокупности. 93
3. Вычисление мощности критерия 95
Лекция 4 Гипотезы о виде закона распределения генеральной совокупности 97
Вычисление теоретического ряда частот 98
Понятие о критериях согласия 100
Критерий согласия Пирсона 100
Лекция 5. Элементы корреляционного анализа 102
Задачи к экзамену 112
Введение
Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» включена в государственные стандарты и учебные планы всех специальностей физико-математического факультета. Кроме того кафедра читает элементы теории вероятностей и математической статистики и на гуманитарных факультетах педагогического блока. Разнообразие подходов и языка изложения данной теории в учебной литературе, уровень математической подготовки студентов разных специальностей требует адаптации теории к конкретным условиям и участникам процесса обучения. Курс лекций, предлагаемый в данном учебном пособии, отвечает указанным требованиям. В лекциях, на доступном языке изложены основные положения теории вероятностей, приведен достаточный объем задач, способствующих глубокому усвоению материала. В лекциях по математической статистике дается понятие о выборочном методе, о точечных и интервальных оценках параметров генеральной совокупности. Приводятся критерии проверки статистических гипотез о значении параметров и виде законов распределения. В последней лекции приводится задача на двумерный корреляционный анализ и линейную дисперсию. Дается понятие о методе наименьших квадратов.
Курс теория вероятностей и математическая статистика читается автором в 9 семестре для студентов специальностей Физика (24 часа лекции), Информатика с дополнительной специальностью Математика (26 часов) и на специальности Математика (24 часа). Итоговая форма отчетности – экзамен.
Пример тематического планирования лекций по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» на специальности 050201 Математика
|
№ п/п |
Содержание лекции |
Количество часов |
|
1
2
3
4
5
6
7 |
Понятие события. Виды событий. Предмет теории вероятностей. Пространство элементарных событий. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности. Непосредственный подсчёт вероятностей. Примеры. Недостатки классического определения вероятности. Геометрическое определение вероятности. Аксиоматическое построение теории вероятностей.
Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры. Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Обобщенная формула Бернулли. Наивероятнейшее число. Примеры.
Локальная предельная теорема Муавра – Лапласа. Условия её применимости. Свойства функции.
(x)
=
Асимптотическая формула Пуассона. Примеры. Интегральная теорема Муавра – Лапласа. Условия её применимости. Свойства функции Лапласа.
(x)
=
Понятие случайной величины. Дискретная случайная величина. Закон распределения. Функция распределения и её свойства. Понятие математического ожидания и дисперсии случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины и их свойства. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины распределенной по биноминальному закону и по Пуассону. Функция распределения и плотность вероятностей непрерывной случайной величины.
Нормальное распределение на прямой. Свойства плотности вероятностей нормально распределенной случайной величины и её выражение через функцию Лапласа. Вывод формул для определения вероятностей:P (x1≤ x ≤ x2) и P (│x-a │≤ ∆ ) для нормально распределенной случайной величины X.
Итого: |
2
2
2
2
2
2
2
14 часов |
|
№ |
Содержание лекций (математическая статистика) |
Количество часов |
|
1
2
3
4
5 |
Вариационный ряд, его разновидности. Основные принципы выборочного метода исследования. Способы образования выборочной совокупности. Ошибки репрезентативности и предельная ошибка. Доверительный интервал. Точность и надёжность оценок, требования, предъявляемые к выборочным оценкам (несмещённость и состоятельность). Выборочная оценка генеральной средней и дисперсии нормального распределения. Некоторые виды распределений, используемые для оценки математического ожидания и дисперсии. Интервальная оценка генеральной средней. Интервальная оценка генеральной дисперсии. Проверка статистических гипотез о значении параметров распределения. Понятие о статистическом критерии. Область критических значений, виды критических областей и определение их границ. Проверка гипотезы о значении генеральной средней. Проверка гипотезы о значении дисперсии нормального распределения.
Опытный и теоретический ряды распределения. Вычисление теоретического ряда частот. Понятие о критериях согласия. Критерий χ2 – Пирсона. Задачи корреляционного анализа. Метод наименьших квадратов, уравнения прямых регрессий. Коэффициент корреляции, проверка его значимости
ИТОГО: |
2
2
2
2
2
10 часов
|
