Признак существования конечного предела последовательности формулируется теоремой:

Теорема 3. Для того, чтобы варианта имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого сколь угодно малого числасуществовал такой номер, что выполняется условие:

. (9)

Последовательность может быть не только дискретной, но и непрерывной, когда в варианте параметрпринимает непрерывный ряд значений при, где- конечное число или.

Первое, что делается при нахождении предела , это проводится анализ, т.е. принимается. Если значениеявляется определенным числом, то это число и будет являться искомым пределом.

При нахождении пределов последовательностей часто получаются неопределенности, которые должны раскрываться, т.е. должно быть выяснено, является ли предел последовательности конечным , бесконечным или предела не существует.

При раскрытии неопределенностей бывают полезны следующие формулы:

1. ; (10)

2. ; (11)

3. - формула 1-го замечательного предела; (12)

Формулу (12) можно понимать так: при стремлении аргумента к нулю синус аргумента можно заменить на аргумент, т.е. при ;(если не требуется учитывать величины более высокого порядка малости в).

4. - формула 2-го замечательного предела (13)

Формулу (13) может быть также записана в следующих формах:

а) ; б)(14)

Из (13) и (14б) следуют более общие формулы:

а) ; б)(15)

Различные виды неопределенностей и способы их раскрытия на конкретных примерах даются ниже.

1. Неопределенность типа .

Найти следующие пределы:

Пример 1а. .

Решение. Подставляя в последовательность значение получим неопределенность. Для раскрытия неопределенности преобразуем знаменатель и воспользуемся формулами (7) и (12):

.

Пример 1б. .

Решение. Подставляя в последовательность значение получим неопределенность. Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения:

Пример 1в. .

Решение. Подставляя в последовательность значение получим неопределенность. Для раскрытия неопределенности воспользуемся формулой (12), из которой следует, что ,.

Упростим числитель. Для этого применим следующие рассуждения.

Пусть тогда

а) ; б).

Пусть в , тогда и. Поскольку, то получаем, чтои с учетом формулы (12) получаем, что .При этом , т.е. при , откуда, учитывая , получаем:

при .

Тогда с учётом изследует, что при , т.е. когда аргумент арктангенса стремится к нулю, арктангенс аргумента можно заменить на аргумент.

Таким образом, получаем:

2. Неопределенность типа .

Найти следующие пределы:

Пример 2а. .

Решение. Подставляя в последовательность значение получим неопределенность. Для раскрытия неопределенности вынесем из числителя и знаменателя, где- наибольшая общая степеньи для числителя и для знаменателя. В данном случае.

.

Пример 2б. .

Решение. Решаем аналогично последнему примеру. В данном случае также .

3. Неопределенность типа .

Такого вида неопределенности раскрываются с использованием 2-го замечательного предела (формулы (13)-(15)).

Найти пределы:

Пример 3а. .

Решение. Подставляя в последовательность значение получим неопределенность вида. Раскрытие такого типа неопределенности основано на сведении исходного выражения к каноническому виду (15а) (или в частном случае прик виду (13)). Имеем:

.

Введем новую переменную равенством:

;

Следовательно, .

Из видно, что при и. В результате последовательность запишется в виде:

Пример 3б. .

Решение. Имеем:

.

и .

4. Неопределенность типа .

Раскрытие такого типа неопределенности основано на использовании формулы (11) или формулы 2-го замечательного предела.

Найти пределы:

Пример 4а. .

Решение. Подставляя в последовательность значение получим неопределенность вида. Раскроем эту неопределенность.

Так как в скобках - величина более высокого порядка малости, чем, то ей можно пренебречь. Таким образом получим:

Перейдем к переменной , определённой равенством:

;

При и последовательность примет вид:

.

Пример 4б.

Решение. Подставляя в последовательность значение получим неопределенность вида:

.

Раскроем эту неопределенность. Обозначим:

а) ,.

Из последнего равенства следует, что при и. Используя формулу (15б), перепишемв виде:

Воспользовавшись для правой части равенства формулой бинома Ньютона:

и ограничиваясь первыми двумя слагаемыми, получим:

,

т.е. ;

Таким образом, с учётом прии исходная последовательность примет вид:

5. Неопределенность типа .

Раскрытие такого типа неопределенности иногда основано на использовании формулы (10).

Найти пределы:

Пример 5а. .

Решение. Подставляя в последовательность значение получим неопределенность типа. Упростим выражение в скобках, учитывая, что:

Таким образом, с учётом формулы (10) получим:

.

Пример 5б. .

Решение. Подставляя в последовательность значение получим неопределенность типа. Обозначим:

.

Логарифмируя обе части этого равенства и учитывая свойство логарифмической функции, получим:

, .

6. Неопределенность типа .

Неопределенность такого типа часто сводится к неопределенности типа , либо типа.

Найти пределы:

Пример 6а. .

Решение. Подставляя в последовательность значение получим неопределенность типа. Переходя к новой переменной(при) сведём неопределенность типак неопределенности типа, которую раскроем, используя 1-й замечательный предел:

.

Пример 6б. .

Решение. Подставляя в последовательность значение получим неопределенность типа. Переходя к новой переменной(при), преобразуя и используя второй замечательный предел, получим:

7. Неопределенность типа .

Часто раскрытие такого вида неопределенности достигается предварительным переводом такой неопределенности в неопределенность типа или.

Найти пределы:

Пример 7а. .

Решение. Подставляя в последовательность значение получим неопределенность типа. Для раскрытия неопределенности умножим и разделим последовательность на сопряженное выражение:

Пример 7б. .

Решение. Подставляя в последовательность значение получим неопределенность типа. Для раскрытия неопределенности перейдём к новой переменной(при). При этом:

и