2082 МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика»

Пределы. Разрывы функций

Задания и методические указания к выполнению типового расчета

для студентов первых курсов всех специальностей

очной формы обучения

Составители: Ф.С. Миронов

Н.М. Латыпова

Самара

2008 Удк 517

Пределы. Разрывы функций : задания и методические указания к выполнению типового расчета для студентов первых курсов всех специальностей очной формы обучения / составители : Ф.С. Миронов, Н.М. Латыпова. – Самара : СамГУПС, 2008. – 33 с.

Утверждены на заседании кафедры 06.09.2007г., протокол № 1.

Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.

Задания и методические указания составлены в соответствии с Государственными образовательными стандартами и действующей программой по высшей математике для всех специальностей. В методических указаниях даются необходимые краткие теоретические сведения и приводятся примеры решения заданий типового расчета по пределам и разрывам функций.

Составители: Миронов Ф.С.

Латыпова Н.М.

Рецензенты: д.п.н., зав. кафедрой «Высшая математика» СамГАСУ О.В. Юсупова

к.т.н., доцент кафедры «Высшая математика» СамГУПС О.Е. Лаврусь

Под редакцией В.А. Герасимова

Компьютерная верстка Р.Р. Абрамян

Подписано в печать 13.03.2008. Формат 60х84 1/16.

Бумага писчая. Печать оперативная. Усл.п.л. 2,0

Тираж 500 экз. Заказ № 23.

© Самарский государственный университет путей сообщения, 2008

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

Пределы последовательностей

Определение 1. Переменная , принимающая некоторую последовательность значений, члены которой занумерованы всеми натуральными числами и расположены в порядке возрастания номеров, называетсявариантой или последовательностью.

Варианта называется монотонно возрастающей, если

(1)

Пример 1.

; - возрастающая варианта.

Варианта называется монотонно убывающей, если

(2)

Пример 2.

; - убывающая варианта.

Варианта называется немонотонной, если не выполняется условие (1) или (2).

Пример 3.

; - немонотонная последовательность.

Определение 2. Постоянное число называетсяпределом варианты , если для любого сколь угодно малого числасуществует такой номер, что выполняется условие:

. (3)

При этом пишут: или.

Определение 3. Последовательность называетсясходящейся, если является конечным числом ирасходящейся, если или не существует предел.

В примере 1 является расходящейся последовательностью, т.к..

В примере 2 является сходящейся последовательностью, т.к..

В примере 3 является ограниченной последовательностью (не превы-шает 1), но тем не менее расходящейся, т.к. пределне существует.

Определение 4. Варианта называетсябесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа существует такой номер, что выполняется условие:

. (4)

При этом пишут: () или().

Например, в примере 1 является бесконечно большой вариантой.

Определение 5. Варианта называетсябесконечно малой, если для любого сколь угодно малого числа существует такой номер, что выполняется условие:

. (5)

Например, в примере 2 является бесконечно малой вариантой.

Теорема 1. Если для двух вариант ивсегда выполняется условие, причем каждая из них имеет конечный предели, то и.

Теорема 2. Если для вариант ,,всегда выполняются неравенства, причем вариантыистремятся к общему пределу, то и вариантаимеет тот же предел.

Если варианты иимеют конечные пределыи, то выполняются равенства:

1. , (6)

2. , (7)

3. . (8)