Непрерывность функции

Определение. Функция называетсянепрерывной в точке х = х₀ , если она в этой точке определена и .

Пример. Исследовать на непрерывность функцию

.

Построим график этой функции (рис. 3).

Данная функция состоит из трех аналитических выражений, каждое из которых непрерывно в своей области. Поэтому функция может иметь разрывы только в местах перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках х=0 и х=1.

Исследуем эти точки:

а) х=0:

; ;.

Так как предел функции при слева, равен пределу функции присправа и равен значению функции прих=0, то в этой точке функция непрерывна.

б) х=1:

; .

Так как предел слева не равен пределу справа, то в точке х=1 функция имеет разрыв 1-го рода, со скачком .

Производная фунции и её геометрический смысл

Пусть c=const, u=u(x), v=v(x) некоторые дифференцируемые функции, тогда справедливы следующие правила дифференцирования:

1. ;4. ; (2.1)

2. ; 5. (2.2)

3. ; 6.;

если — сложная функция аргумента х и

или .

На основании определения производной и правил дифференцирования составлена таблица производных основных элементарных функций.

1.где— любое действительное число	2.;
3.;	4.;
5.;	6.;
7.;	8.;
9.;	10.;
11.;	12.;
13..

B приведенной таблице основных формул дифференцирования функций, переменная u может быть как независимой переменной, так и некоторой функцией от другой переменной.

Примеры. Найти дифференциалы функций:

1. ; 2.; 3.;

4. .

Решение.

1. .

Найдем производную данной функции:

Так как дифференциал функции , получим:

.

2. .

Найдем производную данной функции:

Следовательно, .

3. .

Найдем производную данной функции. Применяем формулу (2.1) производной произведения двух функций,

Следовательно, .

4. .

Найдем производную данной функции. Применяем формулу (2.2) производной частного двух функций,

.

Следовательно, .

Пример. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке.

Найдем значение функции в точке x₀, ; производную функциии значение производной в точкеx₀, :

; ;.

Так как уравнение касательной, проходящей через т., имеет вид

, получим:

; или.

Уравнение нормали, проходящей через т., имеет вид

.

Для рассматриваемого случая получим:

; или.

Сделаем чертеж (рис. 4).

Уравнение данной линии запишем в виде или. Это парабола с вершиной в точке (2, 1) и осью симметрии, параллельной осиОУ.

Правило Лопиталя

Пусть функции иопределены, непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точкиx₀, за исключением, может быть, самой точки x₀. Причем в указанной окрестности производная функции не равна нулю. Тогда, еслии, илии, то предел отношения этих функций представляет собой неопределенность видаили. Если при этом существует предел отношения производных данных функций и он равен некоторому числуk, то этому же числу равен предел отношения самих функций. Это можно записать так:

.

При этом x₀ может быть как конечным числом, так и бесконечностью.

Примеры. Найти

1) ; 2); 3).

Решение.

1) .

.

3)

(напомним, что ).