2. Раскрытие неопределенностей
Правило Лопиталя
Правило
Лопиталя используется для раскрытия
определённостей вида
и
Правило Лопиталя
Если
функции
и
удовлетворяют
условиям теоремы Коши в некоторой
окрестности точки
,
стремятся к 0 (или
)
при
и существует
,
то существует также
и эти пределы равны, т.е.
.
Это
правило справедливо и при
.
Пример.
Найти
.
Решение.Числитель и знаменатель этой дроби непрерывны, дифференцируемы и стремятся к нулю, значит можно применять правило Лопиталя:
.
Если
частное
вновь дает в предельной точке
неопределенность
или
и функции
и
удовлетворяют условиям теоремы Коши,
то можно перейти к отношению вторых
производных и т.д.
Пример.Найти
Решение.
Числитель и знаменатель дроби удовлетворяют
условиям теоремы Коши в окрестности
точки
,
поэтому применяем правило Лопиталя.
Правило Лопиталя можно применять и для раскрытия неопределенностей вида
,
,
,
,
,однако для этого
необходимо предварительно преобразовать
исходное выражение, получив в результате
неопределенность
или
.
Рассмотрим некоторые способы такого преобразования.
1
Неопределенности
вида
получается из произведения функций
,
в котором
и
.
Это произведение
легко преобразуется в частное вида
или
,
что дает неопределенность вида
или
.
Пример.
Найти
.
Решение.
2.
Неопределенность вида
получается из разности функций
,
в которой
и
.
Эта разность преобразуется в частное
следующим образом
.
Пример.
Найти
.
Решение.
3.
Рассмотрим функцию вида
.
а)
если
,
,
то имеем неопределенность вида
;
б)
если
,
,
приходим к неопределенности вида
;
в)
если
,
,
получаем неопределенности вида
.
Для раскрытия таких неопределенностей исходное выражение предварительно логарифмируют по основанию е. Пусть
,
тогда
.
Пример.
Найти
.
Решение.
Обозначим искомый предел через А, тогда
.
Итак
.
Задание 12.
Вычислить пределы, используя правило Лопиталя
|
Вариант 1 |
Вариант 2 |
|
1)
|
1)
|
|
2)
|
2)
|
|
3)
|
3)
|
|
4)
|
4)
|
|
5)
|
5)
|
|
6)
|
6)
|
|
|
|
|
Вариант 3 |
Вариант 4 |
|
1)
|
1)
|
|
2)
|
2)
|
|
3)
|
3)
|
|
4)
|
4)
|
|
5)
|
5)
|
|
6)
|
6)
|
|
Вариант 5 |
Вариант 6 |
|
1)
|
1)
|
|
2)
|
2)
|
|
3)
|
3)
|
|
4)
|
4)
|
|
5)
|
5)
|
|
6)
|
6)
|
|
|
|
|
Вариант 7 |
Вариант 8 |
|
1)
|
1)
|
|
2)
|
2)
|
|
3)
|
3)
|
|
4)
|
4)
|
|
5).
|
5)
|
|
6)
|
6)
|
|
Вариант 9 |
Вариант 10 |
|
1)
|
1)
|
|
2)
|
2)
|
|
3)
|
3)
|
|
4)
|
4)
|
|
5)
|
5)
|
|
6)
|
6)
|
|
|
|
|
Вариант 11 |
Вариант 12 |
|
1)
|
1)
|
|
2)
|
2)
|
|
3)
|
3)
|
|
4)
|
4)
|
|
5)
|
5)
|
|
6)
|
6)
|
|
Вариант 13 |
Вариант 14 |
|
1)
|
1)
|
|
2)
|
2)
|
|
3)
|
3)
|
|
4)
|
4)
|
|
5)
|
5)
|
|
6)
|
6)
|
|
|
|
|
Вариант 15 |
Вариант 16 |
|
1)
|
1)
|
|
2)
|
2)
|
|
3)
|
3)
|
|
4)
|
4)
|
|
5)
|
5)
|
|
6)
|
6)
|
|
Вариант 17 |
Вариант 18. |
|
1)
|
1)
|
|
2)
|
2)
|
|
3)
|
3)
|
|
4)
|
4)
|
|
5)
|
5)
|
|
6)
|
6)
|
|
|
|
|
Вариант 19. |
Вариант 20. |
|
1)
|
1)
|
|
2)
|
2)
|
|
3)
|
3)
|
|
4)
|
4)
|
|
5)
|
5)
|
|
6)
|
6)
|
|
Вариант 21. |
Вариант 22. |
|
1)
|
1)
|
|
2)
|
2)
|
|
3)
|
3)
|
|
4)
|
4)
|
|
5)
|
5)
|
|
6)
|
6)
|
|
|
|
|
Вариант 23 |
Вариант 24. |
|
1)
|
1)
|
|
2)
|
2)
|
|
3)
|
3)
|
|
4)
|
4)
|
|
5)
|
5)
|
|
6)
|
6)
|
|
Вариант 25 |
Вариант 26. |
|
1)
|
1)
|
|
2)
|
2)
|
|
3)
|
3)
|
|
4)
|
4)
|
|
5)
|
5)
|
|
6)
|
6)
|
|
|
|
|
Вариант 27. |
Вариант 28 |
|
1)
|
1)
|
|
2)
|
2)
|
|
3)
|
3)
|
|
4)
|
4)
|
|
5)
|
5)
|
|
6)
|
6)
|
|
Вариант 29. |
Вариант 30. |
|
1)
|
1)
|
|
2)
|
2)
|
|
3)
|
3)
|
|
4)
|
4)
|
|
5)
|
5)
|
|
6)
|
6)
|
