1.5. Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба функции

Кривая называетсявыпуклой на (а, b) если все ее точки лежат не выше любой ее касательной в этом интервале (рис.1.), и вогнутой на (а, b), если все ее точки не ниже любой ее касательной в этом интервале (рис.2)

Рис. 1. Рис. 2.

Точка кривой, отделяющая выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

Теорема 1. (достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции).

Если во всех точках (а, b) ,, то криваяв этом интервале выпукла (вогнута).

Теорема 2. (достаточный признак точки перегиба).

Если в точке или не существует и при переходе через эту точку производнаяменяет знак, то- абсцисса точки перегиба.

Пример. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости кривой .

Решение. Находим первую и вторую производные:

Приравнивая к нулю, находим

В окрестности этой точки знак второй производной меняется

, т.е. при график функции вогнутый;

т.е. при график функции выпуклый.

Точка является точкой перегиба.

Задание 9.

Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости кривой

1)	16)
2)	17)
3)	18)
4)	19)
5)	20)
6)	21)
7)	22)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)

1.6. Схема полного исследования функции и построение ее графика

1).Указать области определения и значения функции;

2)найти точки разрыва функции, вертикальные асимптоты (если они существуют), точки пересечения графика функции с осями координат;

3)установить наличие или отсутствие четности, нечетности, периодичности функции;

4)исследовать функцию на монотонность и экстремумы;

5)найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;

6)найти асимптоты графика функции;

7)провести необходимые дополнительные вычисления;

8)построить график функции.

Пример.Провести полное исследование функциии построить ее график.

Решение.Воспользуемся предлагаемой схемой.

1. Область определения D:

область значений Е:.

2. Точки разрыва функции и. Найдем односторонние пределы в окрестностях этих точек

;;

;.

Видно, что в точках ифункция терпит разрывы второго ряда. Прямыеиявляются вертикальными асимптотами графика функции.

Найдем точки пересечения с осями:

при получаем,

при получаем.

Итак, функция имеет одну точку пересечения с осями – точку

3. Установить четность или нечетность функции

, функция нечетная.

4. Найдем производную

Находим критические точки

, при,

, при.

Очевидно, что для любыхиз области определения, т.е. функция монотонно убывает в области своего определения.

5. Находим вторую производную:

при;

при.

Исследование знака производной удобно проводить в таблице

				0		2
	−			0	−
				0

6. Находим асимптоты графика функции

Уравнение асимптоты т.е.- горизонтальная асимптота

7. Вычисляем дополнительно несколько точек:

при ,

при ,

т.е. график пройдет через точки и

8. Строим график функции.

Замечание:т.к. данная функция является нечетной, было бы рациональнее исследовать ее на промежутке, а затем достроить график присимметрично относительно точки.

Пример:Провести полное исследование и построить график функции.

Решение.

1. Область определения D:,

область значений Е:

2. Точка разрыва Находим односторонние пределы в окрестности этой точки:

В точке функция терпит разрыв второго рода.

Прямая - вертикальная асимптота графика.

Точка пересечения с осями .

3.функция ни четная ни нечетная, не периодичная.

4.Находим критические точки:

при,;

при.

Исследуем знак производной внутри полученных интервалов

				-1		0
	+		−		+	0
						0

Итак, в точке функция имеет локальный максимум.

5. Находим вторую производную: .

при;

при.

				0
	-		-	0
				0

Точка является точкой перегиба

5. Находим асимптоты:

- уравнение наклонной асимптоты.

5. Вычислим дополнительно:

при ,

при ,

при ,

при ,

5. Строим график функции:

Задание 10.

Провести полное исследование функций и построить их графики

№ зад. № вар	1	2	3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

1.7. Практические задачи на экстремум

Пример. Прочность бруса с прямоугольным поперечным сечением пропорциональна его ширине и квадрату высоты. Найти размеры бруса наибольшей прочности, который можно вырезать из бревна радиуса R.

Решение. Обозначим ширину бруса , высоту, прочность, тогда

, где - коэффициент пропорциональности. Из рисунка видно, что, т.е., тогда.

Находим экстремум фуксии :

если , т.е..

Т.к. , то- точка максимума.

.

Итак, прочность бруса будет максимальной при ширине и высоте.

Задание 11.

Решить задачи

1. Требуется изготовить из жести ведро цилиндрической формы без крышки данного объема V. Каковы должны быть высота ведра и радиус его дна, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество жести?

2. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен а . При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?

3. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?

4. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб для подачи воды. При каком угле наклона боковых стенок к днищу желоба площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?

5. Найти наибольший объем конуса при заданной длине l его образующей.

6. Из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, найти треугольник с наибольшим периметром.

7. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м. так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

8. Представить число а виде суммы двух положительных чисел так, чтобы их произведение было наибольшим.

9. Какое положительное число при сложении с обратным ему числом дает наименьшую сумму?

10. Населенный пункт А расположен в 3 км от автомагистрали и в 5км от пункта В, который находится на этой магистрали. Скорость движения по магистрали V=90 км/час, по проселочной дороге У₂=45км/час. Под каким углом к магистрали нужно построить проселочную дорогу из пункта Л, чтобы затраты времени на перевозку грузов из пункта А в пункт В были наименьшими?

11. Полотняный шатер объемом V имеет форму прямого конуса. Каково должно быть отношение высоты конуса к радиусу его основания, чтобы на шатер пошло наименьшее количество полотна?

12. В равнобедренный треугольник с основанием а и углом при основании вписать параллелограмм наибольшей площадью так, чтобы одна из его сторон лежала на основании, а другая на боковой стороне треугольника. Найти длины сторон параллелограмма.

13. Найти соотношение между радиусом R и высотой Н цилиндра, имеющего при данном объеме V наименьшую полную поверхность.

14. Требуется сделать коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какой должна быть высота воронки, чтобы ее объем был наименьшим?

15. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Каково должно быть его основание, чтобы объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим?

16. Найти высоту конуса наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R.

17. Проволокой, длина которой l м, необходимо огородить клумбу, имеющую форму кругового сектора. Каким должен быть радиус круга, чтобы площадь клумбы была наибольшей?

18. Определить наибольшую площадь прямоугольника, вписанного в полукруг радиусом а.

19. Бревно длиной 20 м имеет форму усеченного конуса, диаметры оснований которого равны 2 м и 1 м. Требуется вырубить из бревна балку с квадратным поперечным сечением, ось которой совпадала бы с осью бревна, а объем был бы наибольшим. Каковы должны быть размеры балки?

20. С корабля, который стоит на якоре в 9 км от берега, нужно послать гонца в лагерь, расположенный в 15 км от ближайшей к кораблю точки берега. Скорость посыльного при движении пешком - 5 км/ч, а на лодке - 4 км/ч. В каком месте он должен пристать к берегу, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время?

21. Полоса жести шириной а, имеющая прямоугольную форму, должна быть согнута в виде открытого кругового цилиндрического желоба так, чтобы его сечение имело форму сегмента. Каким должен быть центральный угол , опирающийся на дугу этого сегмента, чтобы вместимость желоба была наибольшей?

22. Из круглого бревна диаметром d надо вырезать балку прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина b и высота h этого сечения, чтобы балка, будучи горизонтально расположенной и равномерно нагруженной, имела наименьший прогиб? (Величина прогиба обратно пропорциональна произведению ширины b поперечного сечения и куба высоты h)

23. Человеку нужно добраться из пункта А, находящегося на одном берегу реки, в пункт В на другом ее берегу. Зная, что скорость движения по берегу в k раз больше скорости движения по воде, определить, под каким углом человек должен пересечь реку, чтобы достичь пункта В в кратчайшее время. Ширина реки h, расстояние между пунктами А и В (вдоль берега) равно а.

24. На прямолинейном отрезке АВ, соединяющем два источника света: А (силой р) и В (силой q), найти точку М, освещаемую слабее всего, если .(Освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света.)

25. Лампа висит над центром круглого стола радиусом r. При какой высоте лампы над столом освещенность предмета, лежащего на его крае, будет наилучшей? (Освещенность прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света.)

26. Из всех цилиндров, вписанных в данный конус, найти тот, у которого боковая поверхность наибольшая. Высота конуса Н, радиус основания R.

27. Из бумажного круга вырезан сектор, а из оставшейся его части склеена коническая воронка. Какой угол должен иметь вырезанный сектор, чтобы объем воронки был наибольшим ?

28. Пункт В находится на расстоянии 60 км от железной дороги. Расстояние по железной дороге от пункта А до ближайшей к пункту В точки С составляет 285 км. На каком расстоянии от точки С надо построить станцию, от которой проложат шоссе к пункту В, чтобы затрачивать наименьшее время на передвижения между пунктами А и В, если скорость движения по железной дороге равна 52 км/ч, а скорость движения по шоссе - 20 км/ч.

29. Канал, ширина которого а м, под прямым углом впадает в другой канал шириной b м. Определить наибольшую длину бревен, которые можно сплавлять по этой системе каналов.

30. При каком наклоне боковых сторон равнобедренной трапеции площадь ее будет наибольшей, если боковые стороны равны b, а меньшее основание а.