- •Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
- •Подписано в печать11.02.2008. Формат .
- •Четность и нечетность функций
- •Периодичность функций
- •Задание 3. Найти наименьший период функции
- •Простейшие преобразования графиков
- •1.2. Непрерывность и точки разрыва функции
- •1.3. Асимптоты графика функции
- •1.4. Интервалы монотонности и точки экстремума функции
- •Нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке
- •1.5. Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба функции
- •1.6. Схема полного исследования функции и построение ее графика
- •2. Раскрытие неопределенностей
- •Содержание
- •1. Исследование функции 3
- •Задание 11. 36
- •2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя 38
1.4. Интервалы монотонности и точки экстремума функции
Функция называетсявозрастающей (убывающей) в некотором интервале, если большому значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е. при выполняется неравенство
возрастает убывает
Признаки возрастания и убывания функции.
Если дифференцируемая функция на отрезкевозрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке неотрицательна (неположительная) т.е..
Если непрерывна на и дифференцируется внутри него функция имеет положительную (отрицательную) производную, то она на этом отрезке возрастает (убывает).
Теорема 1.(необходимый признак локального экстремума).
Если функция имеет в точкеэкстремум, то либолибоне существует.
Точки, в которых производная обращается в нуль либо не существует, называются критическими точками. В них может быть экстремум, а может и не быть.
Теорема 2. ( первый достаточный признак локального экстремума).
Если при положительна, а приотрицательна то прифункцияимеет максимум. Если жепри отрицательна а приположительна, то прифункция имеет минимум.
Другими словами, если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то это точка экстремума.
Пример. Исследовать на экстремумы функцию .
Решение. Данная функция определена и непрерывна, для всех . Находим её производную
.
Находим критические точки из условия и:
при т.е.,
при .
Эти точки разбивают область определения функции на интервалы , в каждом из которых производная функции сохраняет знак.
Достаточно определить знак производной в произвольной точке интервала. Имеем:
Значит точкаявляется точкой максимума и; точкаявляется точкой минимума и
Теорема 3. (второй достаточный признак локального экстремума).
Пусть функция дважды дифференцируема и. Тогда в точкеона имеет локальный минимум еслии локальный максимум если.
В случае, когда точкаможет и не быть экстремумом.
Пример. С помощь второй производной исследовать на экстремум функцию .
Решение. Находим и
Находим критические точки из условия или
.
Вычислим значение второй производной в этих точках
точка минимума,
точка максимума,
.
Задание 7.
Исследовать на экстремум функции
1 |
16 | ||
2 |
17 | ||
3 |
18 | ||
4 |
19 | ||
5 |
20 | ||
6 |
21 | ||
7 |
22 | ||
8 |
23 | ||
9 |
24 | ||
10 |
25 | ||
11 |
26 | ||
12 |
27 | ||
13 |
28 | ||
14 |
29 | ||
15 |
30 |
Нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке
На отрезке функцияможет достигать наименьшего() или наибольшего () значения либо в критических точках функции, лежащих в интервале (a;b), либо на концах отрезка .
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Решение. Производная этой функции
.
Найдем критические точки
Обе эти точки принадлежат интервалу . Вычисляем значение функции в критических точках и на концах отрезка:
Сравнивая полученные числа, заключаем что
а .
Задание 8.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке
1 |
16 | ||
2 |
17 | ||
3 |
18 | ||
4 |
19 | ||
5 |
20 | ||
6 |
21 | ||
7 |
22 | ||
8 |
23 | ||
9 |
24 | ||
10 |
25 | ||
11 |
26 | ||
12 |
27 | ||
13 |
28 | ||
14 |
29 | ||
15 |
30 |