Точность в установившемся режиме

Пусть передаточную функцию разомкнутой системы можно представить в виде

,

где передаточная функция обладает свойством. Тогда передаточная функция замкнутой системы по ошибке равна

.

Установившееся значение ошибки при постоянном входном сигнале , имеющем изображение по Лапласу, может быть вычислено по теореме о конечном значении:

.

Таким образом, при увеличении коэффициента усиления ошибка уменьшается (однако запас устойчивости также уменьшается и система может стать неустойчивой). Величинаназываетсядобротностьюсистемы.При любом конечномв такой системе ошибка будет конечной. Для линейно возрастающего сигнала ошибка будет линейно возрастать.

Теперь пусть

,

где – целое число и.. Тогда для всех входных сигналов вида

система будет обеспечивать нулевую установившуюся ошибку при любых значениях коэффициентов . Таким образом, присистема отслеживает постоянный сигнал без установившейся ошибки. Такие системы называютастатическими.

Число называетсяпорядком астатизма. Для сигнала

установившаяся ошибка равна

Выше рассмотрен случай астатизма по отношению к задающему воздействию. Аналогично может идти речь об астатизме по отношении к возмущающему воздействию.

Простейшие типы регуляторов

П-регулятор. Простейшие пропорциональный регулятор (П-регулятор) представляет собой обычный усилитель с передаточной функцией

.

ПД-регулятор. Для улучшения качества регулирования и повышение быстродействия в закон управления вводят производную от сигнала ошибки, так что передаточная функция получающегося пропорционально-дифференциального регулятора (ПД-регулятора) может быть представлена в виде

,

где – постоянная времени дифференцирующего звена. На практике реализовать идеальное дифференцирование невозможно, так как частотная характеристика звена бесконечно увеличивается на высоких частотах. Поэтому используют дифференцирующее звено с дополнительным фильтром

.

Здесь постоянная времени фильтра обычно в 3-10 раз меньше, чем. Чрезмерное увеличениеможет привести к неустойчивости системы, уменьшение этой величины затягивает переходный процесс.

ПИД-регулятор. В отличие от ПД-регулятора, он содержит интегратор и система становится астатической как по задающему воздействию, так и по возмущению (то есть, постоянное возмущение полностью компенсируется). Его передаточная функция имеет вид

.

где – постоянная времени интегрирующего звена. При увеличениипереходный процесс затягивается, при уменьшении – уменьшается запас устойчивости, переходный процесс приобретает выраженный колебательный характер, при дальнейшем уменьшениитеряется устойчивость.

С помощью правильно настроенного ПИД-регулятора в большинстве случаев удается обеспечить выполнение всех требований к системе. В силу своей простоты, они получили самое широкое распространение. По статистике более 90% всех промышленных регуляторов представляют собой именно ПИД-регуляторы.

1Этим термином также называется совокупность траекторий, которые описывают корни характеристического уравнения при изменениилюбогочислового коэффициента в системе.