7

Исследование САУ с помощью среды Matlab © К. Поляков, 2004-2005

Лабораторная работа № 2

Проектирование регулятора для линейной системы

(Краткие теоретические сведения)

Модели соединений систем

Для построения моделей соединений систем в Matlabиспользуются знаки арифметических действий. Эти операции перегружены, то есть, переопределены специальным образом для объектов классовtf,ssиzpk. Введем исходные модели, с которыми будем выполнять все операции:

>> f = tf(1, [1 1]);

>> g = tf(1, [2 1]);

• параллельное соединение

>> w = f + g

Transfer function:

3 s + 2

---------------

2 s^2 + 3 s + 1

• последовательное соединение

>> w = f * g

Transfer function:

1

---------------

2 s^2 + 3 s + 1

• контур с отрицательной обратной связью

>> w = feedback(f, g)

Transfer function:

2 s + 1

---------------

2 s^2 + 3 s + 2

Можно вычислить эту передаточную функцию и так:

>> w = f / (1 + g*f)

Transfer function:

2 s^2 + 3 s + 1

-----------------------

2 s^3 + 5 s^2 + 5 s + 2

Этот результат может показаться неожиданным. Дело в том, что обе передаточных функции имеют первый порядок, то есть, описываются дифференциальным уравнением (ДУ) первого порядка. Поэтому вся система должны описываться второго порядка, а мы получили третий. Чтобы разобраться в этом, преобразуем модель к форме «нули-полюса»:

>> w_zpk = zpk( w )

Zero/pole/gain:

(s+1) (s+0.5)

-----------------------

(s+1) (s^2 + 1.5s + 1)

Видно, что числитель и знаменатель передаточной функции содержат общий множитель s+1, который можно сократить, и остается система второго порядка. Для этого надо построитьминимальную реализацию, сократив общие множители:

>> w = minreal ( w )

Transfer function:

s + 0.5

---------------

s^2 + 1.5 s + 1

Эта передаточная функция совпадает с той, что выдает функция feedback.

• контур с положительной обратной связью

>> w = feedback(f, -g)

или

>> w = feedback(f, g, 1)

или

>> w = minreal ( f/(1 - g*f))

Transfer function:

2 s + 1

-----------

2 s^2 + 3 s

Корневой годограф

Многие важные свойства системы (например, быстродействие, перерегулирование) определяются расположением корней характеристического уравнения на комплексной плоскости.

Простейший способ коррекции системы – применить П-регулятор (усилитель с коэффициентом ), который изменяет коэффициент усиления разомкнутой системы и расположение этих корней. При измененииот 0 докорни описывают кривые, которые называютсякорневым годографом¹.

С помощью модуля SISOTool(сокращениеSISO=Single Input Single Outputобозначает систему с одним входом и одним выходом) можно выбирать нужное расположение корней (и соответствующий коэффициент усиления), «перетаскивая» их мышкой. Заметим, что при перемещении одного корня смещаются и все остальные, поскольку система имеет одну степень свободы – изменяющийся коэффициент усиления контура.

Корни при выбранном коэффициенте усиления изображаются фиолетовыми квадратиками. Концы годографа для каждого корня помещены крестиком () и кружком (). Сетка (для ее вывода надо нажать ПКМ на графике и выбрать пунктGrid) показывает линии равных показателей колебательности (коэффициента демпфирования,damping factor) – прямые, выходящие из начала координат, и линии равных собственных частот (natural frequency) – окружности с центром в начале координат.

В контекстном меню (ПКМ) можно установить ограничения на расположение полюсов так, чтобы перерегулирование и время переходного процесса не превышали заданных. Для этого надо выбрать пункт Design Constraints – Newи выбрать в выпадающем спискеPercent Overshoot(перерегулирование в процентах) илиSettling Time (время переходного процесса с 2%-ной точностью). Ограничения показываются в виде границ запрещенных зон.

Время переходного процесса оценивается по степени устойчивостизамкнутой системы. Так называется расстояние от самого правого корня характеристического уравнения до мнимой оси. Обычно принимается (как для апериодического звена)

,

где – величина допустимой ошибки (вMatlabона принимается равной 2% или 0,02). Таким образом, при ограничении только наобласть допустимого расположения корнейесть полуплоскость.

Требования к коэффициенту демпфирования добавляют ограничение в виде сектора

.

Число называютколебательностьюилистепенью колебательностизамкнутой системы. Каждому заданномусоответствует некоторое значение.

Перерегулирование (в процентах) оценивается по формуле

.

Каждому перерегулированию соответствует свое значение и свой сектор, ограничивающий расположение корней.

Таким образом, при использовании двух ограничений (первое – на , второе – наили) область допустимого расположения корней представляет собой усеченный сектор в левой части рисунка. Если перетаскиванием корней (то есть, изменением усиления контура) не удается расположить полюса в этой области, надо усложнять регулятор, добавляя его нули и полюса (ПКМ – Add Pole/ZeroилиПКМ – Edit Compensator).