14.2.1.2 Карты Карно

Карта Карно – это еще один способ задания логических функций в виде таблиц. Этими картами удобно пользовать при небольшом числе переменных (до 5 – 6). Строится она по таблице истинности.

Сначала создается заготовка карты в виде матрицы (см. табл. 14.1 – для двух переменных, табл. 14.2 – для трех переменных, табл. 14.3 – для четырех переменных, табл. 14.4 –для пяти переменных).

Разметка строк и столбцов матрицы производится так, что соседние строки (столбцы) отличаются значением одной переменной. Каждый элемент матрицы имеет номер (вес), соответствующий двоичному числу, получаемому из значений переменных, которыми обозначены столбцы и строки матрицы в порядке edcba(a– младший разряд). Этот вес совпадает с номером набора в таблице истинности функции.

В элементы карты Карно записывают значения функции (0 или 1), которые она имеет на соответствующих наборах входных переменных (пример см. в табл. 14.5, где представлена карта Карно для мажоритарной функции, заданной табл. 12.1).

После занесения в карту значений функции проводят анализ карты с целью выявления соседних 1 (по вертикали или по горизонтали, но не по диагонали). Из соседних пар (четверок, восьмерок) 1 формируют контуры. При этом соседними являются также и крайние элементы карты, как по горизонтали, так и по вертикали. Например, в табл. 14.5 соседними будут элементы с весами 0 и 2 (веса см. в табл. 14.2), содержащие нулевые значения функции.

Таблица14.1
b\a	0	1
0	0	1
1	2	3

Таблица14.2
с\ba	00	01	11	10
0	0	1	3	2
1	4	5	7	6

Таблица14.3
dс\ba	00	01	11	10
00	0	1	3	2
01	4	5	7	6
11	12	13	15	14
10	8	9	11	10

Таблица 14.4
ed\сba	000	001	011	010	110	111	101	100
00	0	1	3	2	6	7	5	4
01	8	9	11	10	14	15	13	12
11	24	25	27	26	30	31	29	28
10	16	17	19	18	22	23	21	20

Карта для пяти переменных (табл. 14.4) состоит как бы из двух карт для четырех переменных. В ней соседние элементы определяются сложнее. Например, для элемента 13 соседними являются элементы 5, 29, 12, 15 и элемент 9, расположенный в другой половине карты симметрично относительно средней, более толстой, линии. Для элемента 18 соседними будут элементы 2, 26, 19, 22 и 16. Элементы каждой пары различаются значением одной переменной.

В каждом контуре из двух единиц исключается одна переменная, которая имеет разные значения в этом контуре. Например, в контуре, который выделен овалом в табл. 14.5, исключается переменная с:

.

Таблица 14.5
с\ba	00	01	11	10
0	0	0	1	0
1	0	1	1	1

В приведенной карте Карно имеется еще два контура соседних единиц. В результате минимизации для мажоритарной функции получаем

.

Если объединяются четыре соседние единицы, то исключаются две переменные, которые имеют в контуре разные значения. Если объединяются восемь соседних единиц, то исключаются три переменные и т.д.

В результате получается ДНФ минимизируемой функции.

Если в карте Карно объединяются нули, то получим КНФ.

Каждый 0 в карте Карно соответствует одной дизъюнкции в СКНФ.

В контуре, объединяющем два нуля, исключается переменная, которая меняет свое значение.

для контура с нулями, выделенного прямоугольником в табл. 14.5, получаем:

.

Для КНФ нашей функции получаем

.

В контуре из четырех 0 исключаем две переменные, в контуре из восьми 0 исключаем три переменные и т.д.

Если в таблице все единицы, то это означает, что функция равна «1», если все нули, то функция равна «0».

спомощью карты Карно проведем минимизацию функции, рассмотренной впримере 1предыдущего пункта

Составим карту Карно (таблица 14.6).

Здесь есть две возможности оптимального формирования контуров, которые показаны в таблицах 14.6 и 14.6*.

Таблица 14.6
с\ba	00	01	11	10
0	1	0	1	1
1	1	1	1	0

Таблица 14.6*
с\ba	00	01	11	10
0	1	0	1	1
1	1	1	1	0

По табл. 14.6 получаем

.

По табл. 14.6* получаем

Как видим, применение карт Карно оказалось значительно проще расчетного метода.