Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
2 - Булева алгебра / Лекция 12 ФПС.doc
Скачиваний:
145
Добавлен:
09.04.2015
Размер:
382.46 Кб
Скачать

13 Лекция №12. Функционально полные системы функций

Продолжительность:2 часа (90 мин.)

13.1 Ключевые вопросы

13 Лекция №12. Функционально полные системы функций 1

13.1 Ключевые вопросы 1

13.2 Текст лекции 1

13.2.1 Функционально полные системы функций 1

13.2.2 Теорема Поста–Яблонского 2

13.2.3 Определение минимального базиса 4

13.2.4 Полином Жегалкина 7

13.2.5 Вопросы для контроля 9

13.2 Текст лекции

13.2.1 Функционально полные системы функций

Напомним:

  • Совокупность логических операций, позволяющая составить формулу для любой логической функции, называется функционально полной системой функций или базисом.

Основной или начальной функционально полной системой функций является система И, ИЛИ, НЕ – это доказывается правилами составления совершенных нормальных форм логических функций по таблице истинности.

Вот примеры других функционально полных систем функций:

  1. Штрих Шеффера

f = ab = ,

aa = (НЕ),

(И),

(aa)(bb) = = ab(ИЛИ).

Здесь мы привели один из способов доказательства полноты системы логических функций:

Система логических функций функционально полна, если с помощьюфункций, входящих в систему, можно реализовать функции НЕ, И, ИЛИ, которые образуют функционально полную систему.

Таким образом, одна функция штрих Шеффераявляется функционально полной системой функций.

Заметим:Система НЕ, И, ИЛИ излишне полна, т.е. в ней имеются «лишние» функции.

Действительно, если имеем НЕ и И, то ИЛИ можно получить следующим образом

Если имеем НЕ и ИЛИ, то И можно получить так

.

Неизлишне полная система логических функций (система, из которой нельзя исключить никакую функцию без потери полноты) называется минимальным базисом.

  1. Стрелка Пирса

f = ab=,

aa ==(НЕ),

(ИЛИ),

=(И).

Значит, функция стрелка Пирсаявляется функционально полной системой функций.

  1. Импликация и «0»

f = a→b = b,

a0 =0 = (НЕ),

b =b = ab (ИЛИ),

(И).

Следовательно, система {и «0»} является функционально полной системой функций.

Другой способ доказательства полноты системы логических функций вытекает из теоремы Поста–Яблонского.

13.2.2 Теорема Поста–Яблонского

Смысл теоремы сводится к следующему.

Набор функций двух переменных, является функционально полной системой, если хотя бы одна из его функций:

  • Не сохраняет «0»;

  • Не сохраняет «1» ;

  • Не самодвойственна;

  • Не монотонна;

  • Не линейна.

Эти свойства логических функций разбивают их на классы сохраняющих и не сохраняющих 0; сохраняющих и не сохраняющих 1; самодвойственных и не самодвойственных и т.д. При этом суперпозиция логических функций одного класса дает функцию того же класса.

Дадим пояснения свойств функций, разбивающих их на классы.

Функции, не сохраняющие 0 и 1

Функция называется «не сохраняющей 0», если при подстановке нулевых значений аргументов ее значение равно 1.

Функция называется «не сохраняющей 1», если при подстановке единичных значений аргументов ее значение равно 0.

Пример 1:. Приx= 0f= 1, приx= 1f= 0, следовательно, эта функция не сохраняет 0 и не сохраняет 1.

Двойственная функция

Пусть имеем функцию f(a,b,c). Двойственной для нее является функцияf*=, т.е. функция, в которой все аргументы и сама функция инвертированы.

Пример 2:

;

;

– самодвойственная функция;

– самодвойственная функция;

, ===

=– самодвойственная функция.

Таким образом, для самодвойственной функции можно записать

f(a,b,c) = .

Монотонная функция

Выше (см. Лекцию №8) мы установили для входных наборов отношение предшествования: Входной набор предшествует набору(обозначается это так), если.

функциямонотонна, если для любых двух наборов таких, что они отвечают условиям, имеет место.

Если хотя бы для одной пары таких наборов это не выполняется, то функция не монотонна. Например, функции монотонны, а функцияне монотонна.

Замечание:Любая монотонная логическая функция может быть представлена в форме без инверсий.

Линейная функция

Функция называется линейной, если ее можно представить полиномом Жегалкина в виде суммы по модулю 2 константы a0и переменныхxi, умноженных на постоянные коэффициенты:

,– линейная функция.

– нелинейная функция, так как есть произведение переменных.

(О полиноме Жегалкина см. ниже.)

Свойства логических функций двух переменных, разбивающие их на классы, приведены в табл. 13.1, где символом «+» отмечено наличие свойства, указанного в шапке таблицы.

Пример 3:Применим теорему Поста–Яблонского для доказательства полноты системы {}.

Функция (НЕ) не сохраняет 0 и 1 и не монотонна.

Функция (ИЛИ) не самодвойственна и не линейна.

Всеми нужными свойствами эти функции обладают, следовательно, они образуют полную систему. Причем исключить из этой системы ничего нельзя.

Таблица 13.1

Свойства функций двух переменных, разбивающие их на классы

Функция

Сохранение

«0»

Сохранение

«1»

Само–двойственная

Монотонная

Линейная

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+