Правила составления скнф

1. В таблице истинности найти строки, имеющие в графе функции значения «0».

2. Для каждой строки, содержащей «0» в графе функции, записать в скобках логическую сумму всех переменных и соединить скобки символом логического умножения.

3. В каждой сумме над входными переменными, имеющими значение «1» в соответствующей строке таблицы истинности, поставить символ отрицания.

В качестве примера рассмотрим составление СКНФ для функции f, представленной табл. 12.3.

Таблица 12.3
№	с	b	a	f
0	0	0	0	1
1	0	0	1	1
2	0	1	0	0
3	0	1	1	1
4	1	0	0	0
5	1	0	1	1
6	1	1	0	0
7	1	1	1	1

В таблице имеются три строки с нулевыми значениями функции. Это строки 2, 4 и 6.

Делаем заготовку формулы – в правой части записываем три дизъюнкции (каждая в скобках)

.

Теперь проставляем отрицания над переменными, имеющими значение 1 в соответствующих наборах,

.

В) Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы

Как видим, одна логическая функция может быть представлена, по крайней мере, двумя формулами – СДНФ и СКНФ. Из этих формул путем преобразований (например, при минимизации) можно получить еще ряд формул в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ) или в конъюнктивной нормальной форме (КНФ).

Дизъюнктивной нормальной формойлогической функции называется дизъюнкция любого числа элементарных конъюнкций.

Конъюнктивной нормальной формойлогической функции называется конъюнкция любого числа элементарных дизъюнкций.

В качестве примера проведем преобразования функции

представленной СКНФ.

Таким образом, одна логическая функция может иметь несколько формул, но одна формула всегда описывает одну логическую функцию. В этом различие понятий логической функции и формулы, ее представляющей.

Г) Минтермы, макстермы и их свойства

выражение, составленное из переменных, констант, символов операций и, возможно, скобок, называется термом.

Минтермомназывается элементарная конъюнкция максимального рангаr=n, то есть конъюнкция, в которую входят по одному разу все переменные с отрицанием или без отрицания. Приnпеременных можно сформировать 2ⁿминтермов. Приn= 1 их будет два:aи , приn= 2 их будет четыре:, приn= 3 – восемь и т.д.

Свойства минтермов:

1. Сумма (дизъюнкция) всех минтермов nпеременных равна 1.

Действительно,

при n= 1:,

при n= 2:

при n= 3: …(докажите самостоятельно).

Поэтому минтермы называют также конституентами(составляющими)единицы.

2. Произведение (конъюнкция) двух минтермов nпеременных равно 0.

Действительно, если минтермы не одинаковы, то хотя бы одна переменная в один из них входит без отрицания, а в другой с отрицанием, поэтому в произведении образуется пара вида , равная 0, и, следовательно, все произведение также будет равно 0.

Макстермомназывается элементарная дизъюнкция максимального рангаr=n, то есть дизъюнкция, в которую входят по одному разу все переменные с отрицанием или без отрицания. Приnпеременных можно сформировать 2ⁿмакстермов. Приn= 1 их будет два:aи , приn= 2 их будет четыре:, приn= 3 – восемь и т.д.

Свойства макстермов:

1. Произведение (конъюнкция) всех макстермов nпеременных равно 0.

Действительно,

при n= 1:,

при n= 2:

при n= 3: …(докажите самостоятельно).

Поэтому макстермы называют также конституентами(составляющими)нуля.

2. Сумма (дизъюнкция) двух разных макстермов nпеременных равна 1.

Действительно, если макстермы не одинаковы, то хотя бы одна переменная в один из них входит без отрицания, а в другой с отрицанием, поэтому в их сумме образуется пара вида , равная 1, а потому и вся сумма также будет равна 1.

Термины минтерм и макстерм объясняются следующим.

Минтерм принимает значение 1 только на одном наборе переменных (на остальных наборах, а их 2ⁿ– 1, он равен 0) и эта 1 занимает один элемент – минимальную площадь на карте Карно (см. табл. 12.4,а, где элемент с 1 залит серой краской, о картах Карно см. Лекцию № 13).

Таблица 12.4

а)	Минтермы двух переменных				б)	Макстермы двух переменных
	a\b	0	1			a\b	0	1
	0					0
	1					1

Макстерм имеет значение 0 только на одном наборе переменных, а на остальных наборах он равен 1, и поэтому его 1 занимают максимальную площадь на карте Карно (см. табл. 12.4,б, где элементы с 1 залиты серой краской).

Указание:Представление логических функций в виде схем будетрассмотрено в лекции № 14.