Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет приборостроения и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МАТАН: Ряды

.pdf

Скачиваний:

203

Добавлен:

09.04.2015

Размер:

821 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

1	−x2				1		2			x4				x6				x8				1			1	2			1		x4		1	x6	1	x8

							− x +						−			+						∫1dx − ∫x dx +							∫			dx − ∫			dx + ∫		dx −…=
∫e dx = ∫ 1							− x +						−			+			−… dx =			∫1dx − ∫x dx +							∫			dx − ∫			dx + ∫		dx −…=
0				0					2!					3!			4!					0			0				0	2!			0	3!	0	4!
= x		1	−	x3	1	+	x5	1	−			x7			1	+		x9		1	−…=1 −		1	+	1		−	1			+	1	−…
															1


		0		3	0		5 2!	0			7 3!				0		9 4!			0			3	5 2! 7 3! 9 4!
		0

Мы получили числовой ряд, который равен значению определенного интеграла. Оценим погрешность вычислений. Данный ряд – это ряд Лейбница, следовательно, погрешность вычислений не превосходит по модулю первого отброшенного члена ряда. Поэтому, вычисляя по порядку члены ряда, первым отбросим тот, который окажется по модулю меньше заданной точности:

> 0,01 ,

7 3!

< 0,01.

9 4!

Тогда ∫1 e−x2 dx ≈1 −

−

=1 −0,333 + 0,100 −0, 024=0,743.

5 2!

7 3!

Ответ: ∫1 e−x2 dx ≈0,743.

Задача №6.

Вычислить определенный интеграл ∫1 cos x2 dx с точностью 0,001.

Решение. Вычислить этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница нельзя, поскольку первообразная функции f (x) = cos x2 не выражается в элементарных функциях.

Используем для решения задачи степенной ряд. Запишем разложение в ряд Маклорена функции f (x) = cos x :

cos x =

1−

−

−… .

Сделаем в этой формуле заменуx → x2 :

cos x

−

(x2 )2

2 )4

−

(x2 )6

(x2 )8

−…=1−

−

x12

x16

+…

Данный ряд можно почленно проинтегрировать по отрезку [0,1]:

∫cos x

dx = ∫ 1

−

… dx

= ∫1dx −∫

dx +∫

dx − ∫

dx +∫

dx +…=

= x

−

x12

x17

−…=1 −

−

−… .

5 2!

17 8!

5 2!

Таким образом, вычисляемый определенный интеграл равен сумме знакочередующегося числового ряда, который удовлетворяет условиям признака Лейбница, следовательно, погрешность вычислений не превосходит модуля первого из отброшенных членов ряда.

1	> 0,001 ,		1		< 0,001.
9 4!		12		6!

Поэтому для достижения заданной точности необходимо оставить первые 3 слагаемые.

∫1 cos x2 dx ≈1−		1	+	1	=1−0,1000 +0,0046 = 0,905 .
∫1 cos x2 dx ≈1−	10		+	216	=1−0,1000 +0,0046 = 0,905 .
0	10			216
Ответ: ∫1 cos x2 dx ≈ 0,905 .
0
Задача №7. . Вычислить определенный интеграл ∫1						x −sin x	dx с точностью 0,001.
Задача №7. . Вычислить определенный интеграл ∫1							dx с точностью 0,001.
					0	x

Решение. Распишем ряд Маклорена для функции f (x) =sin x .

sin x = x − x3 + x5 − x7 + x9 −… . 3! 5! 7! 9!

Тогда

x −sin x = x − x −

−

−…

−

+… .

Поделим левую и правую часть формулы на x :

x −sin x

−

+… .

Полученный степенной ряд можно почленно проинтегрировать по отрезку [0,1].

x −sin x

∫

dx =

−

…

−

+… .

5 5!

7 7!

9 9!

3 3!

Получившийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, поэтому отбрасываем

первым слагаемое, которое меньше объявленной точности:

> 0,001 ,

< 0,001 .

5 5!

∫1

x −sin x

≈

−

= 0,0555 −0,0017 = 0,054 .

5 5!

Ответ: ∫1

x −sin x

≈ 0,054 .

Рассмотрим еще одно приложение степенных рядов, к приближенному решению дифференциальных уравнений. Решение дифференциального уравнения не всегда можно выразить в элементарных функциях. Интегралы многих дифференциальных уравнений могут быть представлены в виде степенного ряда, сходящегося в некотором интервале значений независимой переменной. В таком случае ряд, являющийся решением дифференциального уравнения можно найти с помощью рядов Тейлора.

Пусть необходимо найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями, т.е. решить задачу Коши.

Проиллюстрируем решение на примере.

Задача №8. Найти первые пять членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения y′′ = 2xy , удовлетворяющего начальным условиям

y(0) =1, y′(0) =1.

Решение. Будем искать частное решение дифференциального уравнения в виде ряда

y(x) = y(0) +	y′(0)	x +	y′′(0)	x2	+	y′′′(0)	x3	+…+	y(n)(0)	xn +… .
	1!		2!			3!
									n!

Мы выбрали разложение в ряд Маклорена, поскольку в условии задачи нам даны значения искомой функции и ее первой производной в точке x0 = 0 . Для того, чтобы

найти приближенное значение функции y(x) , нам необходимо знать значения ее второй, третьей и четвертой производных в точке x0 = 0 . Значения самой функции и первой

производной в нуле даны по условию.

Значение второй производной при x0 = 0 найдем из дифференциального уравнения,

подставив начальные условия:

y′′(0) = 2 0 1 = 0 .

Для нахождения третьей производной продифференцируем данное дифференциальное уравнение:

(y′′)′ = (2xy)′.

При этом необходимо учесть, что y -- это функция, а x -- независимая переменная:

′′′

′

′′′

= 2(y + xy

′

= 2(x y + xy

Теперь можно вычислить значение третьей производной в точке x0 = 0 :

′′′

y (0) = 2(1+0 1) = 2 .

Аналогично вычислим значение четвертой производной:

(y′′′)′ = (2(y + xy′))′, или

′′′′

= 2(y

′

′ ′

+ xy

′′

), y

′′′′

= 2(y

′

+ y

′

+ xy

′′

), y

′′′′

= 2(2 y

′

+ xy

′′

+ x y

Подставив в найденное равенство значения

′

′′

′′′

x0 = 0, y(0) =1, y (0)

=1, y

(0) = 0, y (0) = 2 получим:

′′′′

= 2(2 1+0 0)= 4 .

(0)

Осталось подставить вычисленные в заданной точке значения производных в ряд

Маклорена:

y(x) =1 +

x2 +

+ x +

3 +

+….

Ответ: y(x) =1 + x +

x3 +

+….

Задача №9. Найти первые четыре члена разложения в степенной ряд решения

дифференциального уравнения

y′′

y′

+ y

= 0

, удовлетворяющего начальным условиям

′

y(1) = 0, y

(1) =1 .

Решение.

Начальные условия заданы в точке a =1 , поэтому решение будем искать в

виде ряда Тейлора:

y(n)(1)

y(x) = y(1) +

y′(1)

(x −1) +

y′′(1)

(x −1)2

y′′′(1)

(x −1)3

+…+

(x −1)n +….

Значения самой функции и ее первой производной даны в условии задачи. Вторую

производную в точке a =1 найдем из дифференциального уравнения:

′

′′

= −

− y,

′′

y (1)

− y(1),

′′

= −1 −0 = −1.

(1) = −

(1)

Вычислим третью производную, продифференцировав дифференциальное уравнение:

′			y′	′
(y′′)	=	−		− y	или
			x

′′

− y

′

′′′

= −

− y

′

Тогда значение третьей производной равно

′′

′

−1

1 −1

′′′

(1) 1 − y

(1)

′

′′′

= −

−1 = −1 .

y (1) = −

− y (1),

(1)

Осталось записать искомый ряд:

y(x) =

0 +

(x −1) −

(x −1)

−

(x −1)

+…=

(x −1)−

(x −1)

−

(x −1) +…

Ответ:

y(x) = (x −1)−

(x −1)2

−

(x −1)3 +…

§7. Ряды Фурье.

Мы рассмотрели ряды Тейлора, в которых функция разлагалась в ряд по системе многочленов

{un (x) = xn }, n = 0,1,2,… .

Существуют другие способы разложения функции в ряд. Например, можно разложить функцию в ряд по системе тригонометрических функций. Такое представление широко применяется для описания различных периодических процессов или функций, заданных на отрезке, которые можно доопределить на всю числовую прямую как периодические.

Рассмотрим функцию

f (x) , периодическую с периодом T = 2l .

Определение. Ряд вида

∞

πk

+∑ ak cos

x +bk sin

x , где

k =1

a0 = 1

∫l

f (x)dx,

ak =

∫l

f (x) cos

πk xdx,

bk = ∫l `

f (x)sin

πk xdx

−l

называется рядом Фурье для заданной функции f (x) .

Для того, чтобы функцию можно было разложить в ряд Фурье она должна быть кусочно непрерывной, кусочно монотонной и ограниченной (т.н. условия Дирихле), то есть требуются гораздо более простые условия, чем для разложения в ряд Тейлора.

Если функция

f (x) имеет период

T = 2π , то получаем в качестве частного случая

следующее разложение в ряд Фурье:

∞

f (x) =

+∑(ak cos kx +bk sin kx),

k =1

π∫ f (x)dx, ak =

π∫ f (x) cos kxdx,

bk =

π∫` f (x)sin kxdx .

−π

Рассмотрим примеры.

−π < x < 0

Задача №1. Разложить в ряд Фурье функцию y =

−1, 0 < x <π

Решение. Данную функцию продолжим на всю числовую прямую как периодическую с периодом T = 2π , тогда ряд Фурье для нее будет иметь вид:

f (x) = a0 +∑∞ (ak cos kx +bk sin kx). 2 k =1

Необходимо найти коэффициенты разложения a0 , ak ,bk . Функция задана на интервале [−π,π] разными формулами, поэтому при вычислении разобьем интеграл на два:

1 π

a0 = π

∫ f (x)dx = π

∫

2dx + ∫(−1)dx

π (2 (0 +π)−1 (π −0))=1 .

−π

1 π

−π

ak =

∫ f (x)cos kxdx =

sin kx

−π

−

sin kx

0 = 0 .

∫2cos kxdx + ∫(−1)cos kxdx

−π

Напомним, что sin 0 = sin kπ = sin(−kπ) = 0, при k Z .

1 π

1 2

bk =

∫ f (x)sin kxdx

cos kx

coskx

∫2sin kxdx + ∫(−1)sin kxdx =

−

−π

−

−π

−

(1−cos(−kπ))

(cos kπ

−1)

−

(1−(−1)

((−1)

−1)

((−1) −1)+

((−1)

−

((−1)

−1).

При вычислениях использовали, что

cos 0 = cos kπ = cos(− kπ)= (−1)k , k Z .

Таким образом, ряд Фурье для заданной функции имеет вид:

∞

y(x) =

∑

((−1)

−1)sin kx .

πk

k =1

∞

Ответ:

y(x) =

+∑

((−

−1)sin kx .

πk

k =1

Задача №2. Разложить в ряд Фурье функцию y =

x, −3 < x < 0

0, 0 < x <3

Решение. Период функции равен T = 6, l =3 , следовательно, используем ряд вида

∞

πk

f (x)

+∑ ak cos

+bk sin

x .

Вычислим коэффициенты ряда:

k =1

1 l

∫

(x)dx =

∫ f (x)dx =

∫xdx + ∫0dx

∫xdx =

−3

−

= −

−l

−3

Функция, как и в предыдущем примере, задана разными формулами, поэтому отрезок

интегрирования разбиваем на части.

1 l

kπ

1 3

kπ

1 0

kπ

∫

f (x) cos

xdx =

∫ f (x) cos

xdx

∫x cos

xdx + ∫0 cos

xdx

∫x cos

xdx

−l

3 −3

−3

Интеграл вычисляется по частям:

u = x, dv = cos

kπ

xdx, du = dx, v = ∫cos

kπ

xdx =

sin

kπ

x , тогда

kπ

1 l

kπ

1 0

kπ

∫ f (x) sin

xdx =

∫x sin

xdx

+ ∫0 sin

∫x sin

xdx =

xdx

−l

−3

3 −3

kπ

0 3

kπ

u = x, dv = sin

xdx, du = dx, v = − kπ cos

− x kπ cos 3

−3 + ∫kπ cos

xdx

kπ

−3

(0 +3cos(− kπ))+ 0 = −

(−1)k =

(−1)k +1

−

x cos

−3

sin

−3 = −

kπ

Осталось подставить найденные коэффициенты.

∞

(1−(−

)cos

πk

k +1

πk

Ответ:

f (x) =

+∑

(−

sin

x .

kπ

k =1

Вычисление коэффициентов ряда Фурье значительно упрощается, если известно, что

данная функция является четной или нечетной на отрезке(−l, l )

. В случае четности

функции, в разложении остаются лишь четные слагаемые, содержащие

cos kx , а все

коэффициенты

при sin kx равны нулю.

Если

f (x) -- четная, то ряд Фурье имеет вид:

∞

kπ

f (x) =

∑ak cos

x , где

k =1

= 2 l

f (x)dx,

ak =

2 l

f (x) cos

kπ

xdx .

∫0

l ∫0

Если

f (x) -- нечетная, то наоборот, ряд состоит из нечетных функций sin kx , а все

коэффициенты a0

равны нулю:

∞

kπ

f (x) = ∑bk sin

x , где

k =1

= 2 l

f (x)sin

kπ

xdx .

∫0

Рассмотрим теперь задачу о разложении в ряд Фурье непериодической функции,

заданной на отрезке

[0,l]. В этом случае можно продлить функцию на всю числовую

прямую как четную или как нечетную и воспользоваться формулами разложения в ряд

четной или нечетной функции. Тогда периодом функции назначается отрезок

[−l,l],

T = 2l . И разложение называется соответственно разложением в ряд Фурье по

синусам или косинусам.

Задача №3. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию y(x) =3x на отрезке [0,2].

Решение. Подчеркнем, что при такой подстановке задачи функция считается заданной на

полупериоде, т.е. l = 2, T = 2l = 4 . Ряд по косинусам имеет вид:

∞

kπ

y(x) =

+∑ak cos

x .

Вычислим коэффициенты:

k =1

∫l

f (x)dx

∫2

3xdx =3∫2

xdx

0 =3

4 −0 = 6 ;

ak =

∫l

f (x) cos

kπ

xdx =

∫2

3xcos kπ xdx =

3∫2

x cos

kπ

xdx =

kπ

xdx, du = dx, v =

sin

kπ

u = x, dv = cos

kπ

2 2

kπ

=3 x kπ sin

−∫kπ sin

xdx

=3 kπ x sin

+ kπ

kπ cos

=3 0

(cos kπ −1)

((−1)

−1).

2 2

Осталось записать ответ.

((−1)k

−1)cos

kπ

Ответ: y(x) =3 +∑∞

x .

k =1 k π

Аналогично решается задача о разложении функции в ряд Фурье по синусам, при этом l - - это по-прежнему длина отрезка, на котором задана функция:

	∞		kπ
f (x) = ∑bk sin					x , где

	k =1			l
b	= 2 l	f (x)sin		kπ		xdx .

k	l ∫0			l

Литература

1.Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Высшая математика т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление. Дрофа. М. 2003. 510 с.

2.В.А. Ильин, А.В. Куркина. Высшая математика. Издательство МГУ. М. 2004. 594 с.

3.Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление.Т.1. М.

Наука. 2003.

4.Демидович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу. М.

Астрель.2001.496 с.

5.И.П. Натансон. Краткий курс высшей математики. Изд. «Лань» М.2005.736с.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.04.201581 Кб23маркетинг.rtf
#
09.04.2015210 Кб44маркетинговая служба.docx
#
17.12.2018479 Кб7Марксистские концепции классовой структуры-стат....doc
#
01.07.20254 Мб2Масааки Имаи - "Гемба кайдзен. Путь к снижению...doc
#
15.03.2016599 Кб30Матан_Ряды.pdf
#
09.04.2015821 Кб203МАТАН: Ряды.pdf
#
01.07.202545 Кб0матан. с 1- 6.docx
#
20.07.20193 Мб8Матвеев.docx
#
07.09.20191 Мб16математ.основы прогр.2.doc
#
01.07.2025193 Кб1Материал к экзамену.docx
#
27.08.2019201 Кб9Материал по Ай-Пи.doc