МАТАН: Дифференциальные уравнения

41

вычисления первого интеграла сделаем замену переменной

42

t = ex . Тогда dt = exdx, dx = edtx . Подставляя в выражение для

интеграла, получаем

∫2e+xdxex = ∫(2dt+t) =ln(t + 2) = ln(e x +2)

Общее решение однородного уравнения равно:

y0 = C1e−2 x +C2e−x .

Общее решение исходного уравнения запишется в виде:

y = −e−2 x ln(e x +2) + 12 xe−x − 12 e−x ln(e x +2) +C1e−2 x +C2e−x

Из условия y(0)= 0 получаем

C1 +C2 = 32 ln 3.

Найдем производную общего решения:

Для определения C1 и C2 имеем систему уравнений

Задача 33. Найти общее решение дифференциального уравнения y′′+3y′+ 2 y = 2x2 +6x +8.

Вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y0 (x) . Составляем

характеристическое уравнение λ2 +3λ + 2 = 0. Найдем его

корни: λ2 +3λ + 2 = 0; (λ + 2)(λ +1) = 0; λ1 = −2;λ2 = −1.

Общее решение однородного уравнения запишется в виде:

y0 (x) = C1e−2 x +C2e−x .

Исходное уравнение имеет правую часть первого типа:

Pn (x) = 2x2 +6x +8, n = 2 . Число α = 0 не встречается среди корней характеристического уравнения, значит кратность s=0. Будем искать y (x) в виде y (x) =Q2 (x) , где Q2 (x) - многочлен второй степени. Тогда y (x) = Ax2 + Bx +C . Коэффициенты А , В и С определим из условия, чтобы частное решение

44

удовлетворяло исходному уравнению. Найдем dy , d 2 y :

dx dx2

Приводим подобные в левой части уравнения:

2 Ax2 +(2B +6 A)x +(2C +3B + 2A) = 2x2 +6x +8..

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в

правой и левой частях, получаем:

2A = 2;

2B +6 A = 6;

2C +3B + 2A =8.

Следовательно А=1, В=0, С=3. Тогда частное решение запишется в виде y (x) = x2 +3.

Следовательно, общее решение исходного уравнения равно:

y = y + y0 = x2 +3+C1e−2 x +C2e−x .

Ответ: y = x2 +3+C1e−2 x +C2e−x .

Задача 34. Найти решение дифференциального уравнения y′′−8 y′+12 y = (5x −6)ex −4e2 x , удовлетворяющее

начальным условиям y(0)= 0, y′(0)= 0 .

Вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Составляем характеристическое

Общее решение однородного уравнения запишется в виде:

y0 (x) = C1e2 x +C2e6 x .

45

Найдем частное решение. Правую часть представим как сумму двух функций f1 (x) и f2 (x) , где f1 (x) =(5x −6)ex ,

f2 (x) = −4e2 x .

Рассмотрим уравнение

y′′−8y′+12 y = (5x −6)ex .

Функция f1 (x) =(5x −6)ex соответствует правой части первого типа: α =1, Pn (x) = (5x −6) , n=1. Число α=1 не встречается

среди корней характеристического уравнения, значит кратность s=0. Будем искать y (x) в виде y1 (x) =Q1 (x)ex , где Q1 (x) -

многочлен первой степени. Тогда y1 (x) = ( Ax + B)ex .

Коэффициенты А и В определим из условия, чтобы частное решение удовлетворяло исходному уравнению. Найдем

dy1 , d 2 y1 :

dx dx2

dy1 = ( Ax + B)ex + Aex ; dx

d 2 y1 = ( Ax + B)ex + 2Aex . dx2

Подставляя dy1 , d 2 y1 в исходное уравнение, получаем:

dx dx2

[( Ax + B) +2A]ex −8[( Ax + B) + A)]ex +12[Ax + B]ex =

=(5x −6)ex

Сокращаем правую и левую части на ex и приводим подобные в левой части:

5Ax +(5B −6A) = 5x −6 .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и левой частях, получаем: 5A = 5,5B −6A = −6 .

Следовательно А=1, В=0. Тогда частное решение запишется в виде y1 (x) = xex .

Рассмотрим уравнение

y′′−8 y′+12 y = −4e2 x .

46

Функция f2 (x) = −4e2 x соответствует правой части первого типа: α = 2 , Pn (x) = −4 , n=0. Число α=2 один раз встречается среди

корней характеристического уравнения, значит кратность s=1. Будем искать y (x) в виде y1 (x) = xQ0 (x)e2 x , где Q0 (x) -

многочлен первой степени. Тогда y1 (x) = Axe2 x . Коэффициенты А и В определим из условия, чтобы частное решение

удовлетворяло исходному уравнению. Найдем dy1 , d 2 y1 :

dx dx2

dy1 = 2 Axe2 x + Ae2 x ; dx

d 2 y1 = 4 Axe2 x + 4 Ae2 x . dx2

Подставляя dy1 , d 2 y1 в исходное уравнение, получаем:

dx dx2

[4Ax + 4 A]e2 x −8[2Ax + A)]e2 x +12[Ax]e2 x = −4e2 x

Сокращаем правую и левую части на e2 x и приводим подобные в

левой части:

−4A = −4 .

Следовательно А=1. Тогда частное решение запишется в виде

y2 (x) = xe2 x .

Общее решение уравнения равно

y = xex + xe2 x + C1e2 x +C2e6 x .

Из условия y(0)= 0 получаем

C1 +C2 = 0 .

Найдем производную общего решения:

y′ = ex + xex +e2 x + 2xe2 x + 2C1e2 x +6C2e6 x

Из условия y′(0)= 0 получаем: 2C1 +6C2 = −2 . Для определения C1 и C2 имеем систему уравнений

47

нулевой степени, поскольку наибольшее из чисел m1 и m2 равно нулю. Тогда y (x) = Asin x + B cos x

48

−Asin x − Bcos x −2( Acos x − Bsin x) +( Asin x + B cos x) = 4sin x

Приравнивая коэффициенты при синусах и косинусах в правой и левой частях уравнения, получаем: −2А=0, 2В=4. Следовательно В=2. Тогда y (x) = 2cos x .

Следовательно, общее решение уравнения имеет вид

y(x) = 2cos x + C1ex +C2 xex

Задача 36. Найти общее решение дифференциального уравнения y′′′− y′′− y′+ y = x3 −3x2 −6x +6.

Вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y0 (x) . Составляем

характеристическое уравнение λ3 −λ2 −λ +1 = 0. Найдем

его корни: λ3 −λ2 −λ +1 = 0; (λ −1)2 (λ +1) = 0 ;

λ1 = −1,λ2 = λ3 =1.

Общее решение однородного уравнения запишется в виде:

y0 (x) = C1e−x +C2ex +C3 xex .

Исходное уравнение имеет правую часть первого типа: α = 0, Pn (x) = x3 −3x2 −6x +6 , n = 3. Число α = 0 не встречается

среди корней характеристического уравнения, значит кратность s=0. Будем искать y (x) в виде y (x) =Q3 (x) , где Q3 (x) -

многочлен третьей степени. Тогда y (x) = Ax3 + Bx2 +Cx + D .

Коэффициенты А , В и С определим из условия, чтобы частное решение удовлетворяло исходному уравнению. Найдем

d 2 y = 6Ax + 2B ; dx2

d 3 y = 6A. dx3

49

Подставляя dy , d 2 y , d 3 y в исходное уравнение, получаем:

dx dx2 dx3

6A −(6Ax + 2B) −(3Ax2 + 2Bx +C) +

+ Ax3 + Bx2 +Cx + D = x3 −3x2 −6x +6

Приводим подобные в левой части уравнения:

8Ax2 +(8B −12A)x +(8C −6B + 2 A) =8x2 −12x +10..

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в

правой и левой частях, получаем:

8A =8;

8B −12 A = −12; 8C −6B +2A =10.

Следовательно А=1, В=0, С=1. Тогда частное решение запишется

дифференциальным уравнением второго порядка для определения неизвестной функции x(t) . Приводя подобные, запишем его в виде

d 2 x −3 dx + 2x = 0 . dt2 dt

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

λ2 −3λ +2 = 0 ; (λ −1)(λ −2) = 0 ; λ1 =1, λ2 = 2 .

Решение дифференциального уравнения имеет вид

x =C1et +C2e2t , где C1,C2 - произвольные постоянные.