МАТАН: Дифференциальные уравнения
.pdf11
Вначале найдем общее решение этого уравнения. Будем искать y
в виде y = uv . Тогда |
|
y |
′ |
= u v +uv |
. Подставляя y и y |
′ |
в исходное |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′ |
+ |
1 |
|
2 |
; u |
′ |
|
1 |
|
|
|
|
′ |
|
|
2 |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uv = x |
|
|
+ |
|
|
v |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
уравнение, получаем: u v +uv |
2x |
|
|
v |
2x |
+u v = x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Выберем функцию v(x) |
|
из условия v′+ |
|
|
1 |
v = 0 . Уравнение для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции v(x) |
является уравнением с разделяющимися |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
dx |
|
|
|||
переменными. Найдем его решение: v′ |
+ |
|
v = 0 , |
|
|
= − |
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x |
|
v |
2x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
dv |
= −∫ |
dx |
; ln v = − |
1 |
ln x ; v = |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
v |
|
|
|
|
|
2x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Найдем функцию u(x) : u′ |
|
1 |
|
|
= x2 ; u′ |
|
= x2 |
|
x ; |
u = ∫x2 |
|
xdx ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
u = |
|
x3 x +C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y = uv = |
2 |
x3 |
+ |
|
C |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Произвольную постоянную С определим из условия y(1) =1: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 = |
2 |
+C ; C = |
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Ответ: y = |
2 x3 |
+ |
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
7 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 9. Найти общее решение дифференциального уравнения
dydx −4x3 y = 2xex4 .
Данное дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать y в виде y = uv . Тогда y′= u′v +uv′. Подставляя y и y′ в
исходное уравнение, получаем: u′v +uv′ −4x3uv = 2xex4 ;
u v′−4x3v +u′v = 2xex4 .
Выберем функцию v(x) из условия dvdx −4x3v = 0 . Уравнение для функции v(x) является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: dvdx −4x3v = 0 , dvv = 4x3dx ;
∫dvv = ∫4x3dx ; ln v = x4 ; v = ex4 .
Найдем функцию u(x) : u′ex4 = 2xex4 ; u′ = 2x ; u = ∫2xdx ; u = x2 +C . Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид
11
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
||
y = uv = (x2 +C)ex4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: y = (x2 +C)ex4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача 10. Найти решение задачи Коши |
|
|
|||||||||||
|
dy |
+ |
|
|
2x |
y = |
|
2x2 |
, |
y(0) = |
2 |
. |
|
|
dx |
1 |
+ x2 |
1 |
+ x2 |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Данное дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать
|
y в виде |
y = uv . Тогда |
|
|
|
y |
′ |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
. Подставляя y и y |
′ |
в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= u v |
|
+uv |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
исходное уравнение, получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
du |
v +u |
dv |
|
+ |
|
|
2x |
|
|
|
uv = |
|
|
|
2x2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
dx |
1 |
+ x2 |
|
1 |
+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dv |
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
u |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1+ x |
2 |
|
|
dx |
1 |
+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Выберем функцию v(x) из условия |
|
+ |
|
|
|
|
|
v = 0. Уравнение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
1 |
+ x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
для функции v(x) является уравнением с разделяющимися |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переменными. Найдем его решение: |
|
|
dv |
|
+ |
|
|
|
|
2x |
|
|
v = 0, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d (x2 +1) |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
= − |
|
|
|
|
|
|
dx ; ∫ |
dv |
|
= −∫ |
|
|
|
|
|
2x |
|
dx ; |
∫ |
dv |
= −∫ |
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
v |
|
1+ x2 |
|
|
|
v |
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
1+ x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln v = −ln(1+ x2 ) , |
v = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Найдем функцию u(x) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
du |
1 |
|
= |
|
|
|
2x2 |
|
; |
|
du |
|
= 2x |
2 |
; u = ∫2x |
2 |
dx = |
2 |
x |
3 |
+C . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
1+ x2 |
|
1+ x2 |
|
dx |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = uv |
|
|
|
|
2 |
|
x |
3 |
+C |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Определим произвольную постоянную С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Так как y(0) = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
+C |
|
1 |
|
|
|
|
, C = |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
, то имеем |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
3 |
3 |
|
|
1+ |
|
0 |
2 |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Ответ: y = |
|
2 x3 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3 x2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
13
4. Уравнение Бернулли.
Определение. Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение первого порядка, которое может быть записано в виде
dydx + P(x) y = Q(x) y n .
Можно предложить следующий метод решения этого уравнения. Неизвестную функцию y(x) будем искать в виде
y = uv , где u(x) - неизвестная функция, а v(x) - некоторая функция, выбранная специальным образом. (Способ выбора v(x) будет
описан позже). Производная y |
′ |
равна: y |
′ |
= u v +uv |
′ |
. Подставляя y |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
||||
и y′ в исходное уравнение, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
′ |
|
′ |
+ P(x)uv = Q(x)u |
n |
v |
n |
. |
|
|
||||||
|
u v +uv |
|
|
|
|
|
||||||||||
Полученное уравнение преобразуем к виду |
|
|
|
|||||||||||||
′ |
′ |
= Q(x)u |
n |
v |
n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
u[v |
+ P(x)v] +u v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подберем функцию v(x) |
из условия: v′+ P(x)v = 0 . |
|
(Это уравнение для определения функции v(x) является уравнением с разделяющимися переменными и нас интересует не его общее решение, а какое либо частное решение не тождественно равное нулю).
Тогда для определения u(x) имеем уравнение u′v = Q(x)u n vn .
Это уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными и способ его решения изложен ранее.
Задача 11. Найти решение задачи Коши:
|
|
|
2(xy′+ y) = xy 2 , |
y(1) = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Вначале найдем общее решение этого уравнения. Будем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
искать y |
в виде y = uv . Тогда, подставляя y |
|
и y′в исходное |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение, получим: 2u(xv′+ v) + 2xvu′ = xu 2 v2 . Функцию v(x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
определяем из условия: |
x |
dv |
+ v = 0 |
; |
|
dv |
|
= − |
dx |
; |
∫ |
dv |
|
= −∫ |
dx |
; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
v |
|
|
v |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
2 |
|
2 |
|
du |
|
dx |
|
|||
ln v = −ln x ; v = x . Определим u(x) : |
2xu |
= xu v |
|
; u 2 |
= 2x ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
du |
= ∫ |
dx |
+С; − |
1 |
= |
1 |
ln x +C ; |
u = − |
|
|
1 |
|
. Следовательно, общее |
|||||||||||||||||||||||
2 |
2x |
u |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
u |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
+C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
решение имеет вид y = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
. Из условия y(1) = 2 |
||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x +C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определяем произвольную постоянную С: 2 = −С1 ; С = − 12 .
13
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
y = − |
|
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x(ln x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Задача 12. Найти решение задачи Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dy |
+3y = 4e−2 x y3 , |
y(0) =1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Данное уравнение является уравнением Бернулли. Будем |
||||||||||||||||||||||||||||||
искать y |
|
в виде y = uv . Тогда, подставляя y и y′в исходное |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
уравнение, получим: u(v′+3v) +vu′ = 4e−2 xu3v3 . Функцию v(x) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
определяем из условия: |
dv +3v = 0 ; |
dv |
= −3dx ; |
∫dv = −∫3dx ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
v |
du |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
−3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3x |
|
|
′ |
|
−2 x |
3 |
|
|
−9 x |
−8x |
|
|
|||
ln v = −3x ; |
v = e |
|
|
. Определим u(x) : |
e |
|
u |
|
= 4e |
|
u |
e |
|
; u3 = 4e |
|
dx ; |
||||||||||||||
du |
|
−8x |
dx +С; |
1 |
|
|
1 |
−8x |
+C ; |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
.( Знак плюс при |
||||||||||||
∫u3 |
= ∫4e |
|
|
− |
|
= − 2 e |
|
u = |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2u2 |
|
|
|
e−8x −2C |
||||||||||||||||||||||||
извлечении квадратного корня выбран исходя из начальных |
||||||||||||||||||||||||||||||
условий). Следовательно, общее решение имеет вид y = |
|
e−3x |
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−8x −2C |
Из условия y(0) =1 определяем произвольную постоянную С:
1 = |
|
1 |
; С = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
−2C |
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ответ: |
y = ex . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 13. Найти решение задачи Коши: |
|
|
|
|||||
|
|
|
y′+ 4x3 y = 4 y2e4 x (1− x3 ) , |
y(0) = −1. |
|
||||
|
Вначале найдем общее решение этого уравнения. Будем |
|
|||||||
искать y |
в виде y =uv . Тогда y |
′ |
|
′ |
′ |
. Подставляя |
y и |
||
|
= u v +uv |
y′ в исходное уравнение, получаем:
du |
v +u |
dv |
|
+ 4x3uv = 4u2v2e4 x (1− x3 ) ; |
||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
dv |
3 |
|
|
du |
|
2 |
2 |
|
4 x |
|
|
− x |
3 |
|
||||||||
u |
|
|
+ 4x |
v + |
|
|
|
v = |
4u |
v |
e |
|
|
(1 |
|
) . |
||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
||||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Функцию v(x) определяем из условия: |
|
|||||||||||||||||||||
dv |
+ 4x3v = 0 , |
dv |
= −4x3dx ; |
∫ |
dv |
|
= −∫4x3dx ; ln v = −x4 ; |
|||||||||||||||
|
|
v |
||||||||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
v = e−x4 . Определим u(x) :
14
|
|
|
|
|
15 |
|
du |
v = 4u2v2e4 x (1− x3 ); |
du |
= 4u2ve4 x (1− x3 ); |
|
|
dx |
dx |
|||
|
|
|
|||
du |
|
= 4e4 x−x4 (1− x3 )dx . |
|
|
|
u2 |
|
|
|||
|
|
|
Интегрируем правую и левую части полученного соотношения
∫duu2 = ∫4e4 x−x4 (1− x3 )dx .
Приведем схему вычисления полученных интегралов.
∫ |
du |
= ∫u |
−2 |
du = |
u−1 |
1 |
|
|
|
|
|
= − |
|
. |
|||
u2 |
|
−1 |
u |
Для вычисления ∫4e4 x−x4 (1− x3 )dx сделаем замену переменных
4x − x4 |
= t , dt = 4(1− x3 )dx , dx |
= |
|
|
dt |
|
|
|
. Тогда получаем |
||||||||||||||||||
4(1− x3 ) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 x−x4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
t |
|
3 |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
4 x−x4 |
||
∫4e |
|
(1− x |
|
)dx = |
∫4e |
(1− x |
|
) |
|
|
= ∫e |
dt = e |
|
= e |
|
||||||||||||
|
|
|
4(1− x3 ) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Подставляя полученные интегралы в исходное выражение, |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
=e |
4 x−x4 |
+C , u = − |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
получаем − |
|
|
|
|
|
|
|
. Следовательно , |
|||||||||||||||||||
u |
|
|
e4 x−x4 |
+C |
|||||||||||||||||||||||
общее решение имеет вид y = uv = − |
|
e−x4 |
|
. Используя |
|
||||||||||||||||||||||
e4 x−x |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+C |
|
|
|
|
начальные условия задачи Коши, определим С. Так как y(0) = −1, то −1 = −1+1C , С=0.
Тогда имеем y = −e−4 x . Ответ: y = −e−4 x .
15
16
2. Уравнения высших порядков
Далее перейдем к уравнениям более высокого порядка. Дифференциальным уравнением порядка n , разрешенным
относительно старшей производной, называется дифференциальное уравнение вида
y(n) = f (x; y; y′; y′′;...y(n−1) ) .
Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция y = y(x), при подстановке которой в
дифференциальное уравнение, оно превращается в тождество. Задачей Коши для дифференциального уравнения порядка n называется задача отыскания решения дифференциального уравнения
y(n) = f (x; y; y′; y′′;...y(n−1) ) ,
удовлетворяющего условиям
y(x0 ) = y0 , y′(x0 ) = y0′, y′′(x0 ) = y0′′,…, y(n−1) (x0 ) = y0(n−1)
при x = x0 .
Доказано, что при определенных условиях задача Коши имеет решение и при том единственное.
Общим решением дифференциального уравнения
y(n) = f (x; y; y′; y′′;...y(n−1) ) называется совокупность функций
y =ϕ(x;C1;C2 ;...Cn ) , где C1,C2 ,...,Cn - произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям:
1. При любом наборе произвольных постоянных C1,C2 ,...,Cn функция y =ϕ(x;C1;C2 ;...Cn ) является частным решением дифференциального уравнения;
2. Для любых начальных условий задачи Коши y(x0 ) = y0 ,
y′(x0 ) = y0′, y′′(x0 ) = y0′′,…, y(n−1) (x0 ) = y0(n−1) при
x = x0 существует такой набор значений произвольных постоянных C01,C02 ,...,C0n , что выполнены условия
ϕ(x0 ;C01;C02 ;...C0n ) = y0 , ϕ′(x0 ;C01;C02 ;...C0n ) = y0′,…….,
ϕ(n−1) (x0 ;C01;C02 ;...C0n ) = y0(n−1)
5.Уравнения, допускающие понижение порядка. Пусть дано уравнение порядка n вида
F (y(n) , y(n−1) ,...y(k ) , x)= 0 ,
16
17
то есть в данное уравнение явно не входят неизвестная функция и производные этой функции до порядка k-1 включительно. Введем новую неизвестную функцию z(x) = y(k ) (x) . Производные функции y(x) выразятся через производные функции z(x) следующим образом: y(k +1) = z′,…, y(n) = z (n−k ) . Подставляя в исходное уравнение, получаем F (z (n−k ) , z (n−k −1) ,...z′, z, x)= 0 . Полученное уравнение для функции z(x) является уравнением более низкого порядка. Если функция z(x) определена, то функция y(x) определяется интегрированием соотношения y(k ) (x) = z(x) .
Задача 14. При x>0 найти общее решение дифференциального уравнения
2xy′′′ = y′′.
Это уравнение явно не содержит y и y′. Обозначим y′′ = z . Тогда: y′′ = z , y′′′ = z′. Подставляя в исходное уравнение, получаем
2xz′ = z .
Уравнение для определения функции z(x) является уравнением с
разделяющимися переменными. Найдем его решение: 2x |
dz |
= z ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dz |
|
dx |
|
|
dz |
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
|
; ∫ |
= ∫ |
; ln |
|
z |
|
= |
ln x +ln |
|
C |
|
; ln |
|
z |
|
= ln |
|
C |
|
x ; |
|
z |
|
= |
|
C |
|
x ; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
2x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
2x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
z = C |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Так как y′′ = z , то y′ = ∫zdx +C1 = ∫C xdx +C1 |
|
= |
Cx x +C1 . Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x +C1 x +C2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
y = ∫ |
|
|
Cx |
x |
+C1 dx +C2 = |
|
|
Cx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
3 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим C3 = 154 C .
Ответ: y = C3 x2 x +C1 x +C2 , где C3 ,C1 ,C2 - произвольные
постоянные.
Задача 15. Найти общее решение дифференциального уравнения
(1+ x2 ) y′′+ 2xy′ = x3 .
Данное уравнение не содержит явно неизвестную функцию y . Введем новую неизвестную функцию z = y′. Тогда y′′ = z′ и уравнение преобразуется к виду
(1+ x2 )z′+ 2xz = x3 .
Полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать z в виде z = uv . Тогда y′ = u′v +uv′. Подставляя y и y′ в исходное уравнение,
получаем:
17
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
2 |
du |
|
dv |
|
3 |
|
||
(1+ x |
|
) |
|
v +u |
|
|
+ 2xuv = x |
|
; |
|
|
|
|
||||||
|
|
dx |
|
dx |
|
|
|
u |
(1 |
+ x2 ) |
dv |
|
|
+ 2xv |
+(1+ x2 ) |
du |
v = x3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Выберем функцию v(x) из условия (1+ x2 ) |
+ 2xv = 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Уравнение для функции v(x) является уравнением с |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
разделяющимися переменными. Найдем его решение: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1+ x |
2 |
) |
|
dv |
+ 2xv = 0 |
, |
|
dv |
|
= − |
|
|
|
2x |
|
|
|
dx ; ∫ |
|
dv |
= −∫ |
|
2x |
dx ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
v |
|
|
1+ x2 |
|
|
|
v |
1+ x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
dv |
= −∫ |
|
d (x2 +1) |
; |
|
ln v = −ln(1+ x |
2 |
) , v = |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
v |
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Найдем функцию u(x) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(1+ x2 ) |
du |
|
1 |
|
|
= x3 ; |
du |
|
= x3 ; u = ∫x3dx |
= |
1 |
x4 |
+C1. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx 1+ x |
2 |
|
|
dx |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
= uv = |
|
|
|
x |
4 |
+C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1+ x |
|
|
|
|
|
4 (x |
+1) x |
+1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Определим y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
y = ∫zdx = |
1 |
|
|
∫ |
|
|
x4 |
|
|
|
dx + |
∫ |
|
|
C |
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
(x2 +1) |
x2 + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
− |
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
(x |
2 |
+1) |
∫x |
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
x3 − |
1 |
x + |
1 |
arctgx +C arctgx +C |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Так как C |
|
|
+ |
1 |
является так же произвольной постоянной, то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
окончательный ответ может быть записан в виде
y = 121 x3 − 14 x +C1arctgx +C2 . Ответ: y = 121 x3 − 14 x +C1arctgx +C2 .
18
19
Второй тип уравнений, допускающих понижение порядка, - это уравнения, которые явно не содержат независимую переменную x . (Мы будем рассматривать только уравнения второго порядка, однако предложенный метод применим и для уравнений более высокого порядка.) Пусть дано уравнение вида
F ( y′′, y′, y) = 0 .
Будем искать производную y′как функцию y в виде y′ = p( y) , где p( y) - неизвестная функция. Тогда
y′′= dxd p( y) = dpdy dydx = p′p .
Подставляя y′′ и y′в исходное уравнение, получаем
F ( p′p; p; y) = 0 .
Полученное уравнение является уравнением первого порядка для функции p( y) . Если нам удастся найти функцию p( y) , то для определении y имеем уравнение y′ = p( y) , которое является уравнением с разделяющимися пере6менными.
Замечание. При изложенном методе могут быть потерянны решения p( y) = 0 , то есть y = const . Поэтому такие решения рекомендуется выписывать отдельно.
Задача 16. Найти решение задачи Коши:
|
|
|
|
|
y |
′′ |
=128y |
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) =1, y (0) = 8 . |
|
= p p . Подставляя y |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
Будем искать y |
′ |
в виде y |
′ |
= p( y) . Тогда y |
′′ |
′′ |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
||||
и y′ в исходное уравнение, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
=128y |
3 |
. Полученное для p( y) уравнение |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p p |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
его решение: p |
dp |
|
=128y3 , |
pdp =128y3 dy , ∫pdp = ∫128y3 dy , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
dy |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
p2 |
|
= 32 y 4 +C . Определим произвольную постоянную С. Так как |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) = 8 , то p = 8 при y =1. Тогда |
|
|||||||||||||||||||
при x = 0 имеем y(0) =1, а |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32=32+С, С=0. Следовательно, |
p2 |
= 32 y 4 или . Знак плюс при |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
y (0) = 8 |
- |
|
положительное |
|
|||||||||
извлечении корня выбран потому, что |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
число. Неизвестную функцию y(x) определяем из уравнения |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y′ = 8y 2 . Найдем его решение: |
dy |
= 8y 2 , |
|
dy |
= 8dx , |
∫ |
dy |
= ∫8dx , |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|||||
− |
1 |
= 8x +C , y = − |
|
|
|
1 |
|
. Так как y(0) =1, то 1 = − |
1 |
|
, C = −1 . |
|
||||||||||||||||||||||
y |
8x +C |
C |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Следовательно, y = − |
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
8x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19
20
Ответ: y = −8x1−1 .
Задача 17. Найти решение задачи Коши:
y′′ = 6 y2 , y(2) = 14 , y′(2) = −14 .
Будем искать y′ в виде y′ = p( y) . Тогда y′′ = p′p . Подставляя y′′ и y′ в исходное уравнение, получаем
p′p = 6 y2 .
Полученное для p( y) уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение:
|
p |
dp |
|
= 6 y2 , |
pdp = 6 y2dy |
, |
∫pdp = |
∫6 y2dy , |
|
p2 |
= 2 y3 +C . |
||||||||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Определим произвольную постоянную С. Так как при x = 2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
′ |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||
имеем y(2) = |
|
|
, а |
y (2) = |
|
, то p = |
|
|
при |
y = |
|
|
. Тогда |
||||||||||||
|
4 |
4 |
4 |
4 |
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
= |
1 |
+С, С=0. Следовательно, |
p2 |
|
= |
2 y |
3 |
или . Знак плюс при |
||||||||||||||
32 |
32 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
= |
|
- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||
извлечении корня выберем потому, что y (2) |
|
положительное число. Неизвестную функцию y(x) определяем
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
из уравнения y |
= 2 |
|
y |
|
. Найдем его решение: |
|
dx = 2 y |
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
dy |
= 2dx , |
∫ |
dy |
|
|
= ∫2dx , − |
|
|
2 |
|
= 2x +C , y = |
4 |
|
|
. Так |
|||||||||||||||||
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
(2x +C) |
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
y 2 |
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
как y(2) = |
1 |
, то |
|
1 |
|
= |
|
|
|
4 |
|
|
|
, C = 0. Следовательно, |
y = |
1 |
. |
||||||||||||||||
4 |
4 |
|
(4 |
+C)2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
||||||||||||
|
Ответ: y = |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Задача 18. Решить задачу Коши |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
y′′ =18sin3 y cos y , |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
y(1) = |
2 , y′(1) = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Будем искать y |
′ |
в виде y |
′ |
= p( y) . Тогда y |
′′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= p p . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Подставляя y′′ и y′ |
в исходное уравнение, получаем |
|
|
|
|
|
|
20