Контрольные задания

1. Существует ли система счисления, в которой 8+1=10 и 34=13?

2. Перевести число 198₍₁₀₎ в восьмеричную систему счисления.

3. Перевести число 1AA₍₁₆₎ в восьмеричную систему счисления.

4. Перевести число 216₍₁₀₎ в двоичную систему счисления.

5. Найти сумму всех целых двоичных чисел в диапазоне от 1110₍₂₎ до­ 10001₍₂₎ включительно.

6. Перевести число 1BE7₍₁₆₎ в восьмеричную, двоичную и десятичную системы счисления.

7. Число 20,45₍₁₀₎ перевели в четверичную систему счисления. Найти 1999 цифру после запятой. Указать период.

8. Составить таблицу умножения в системе счисления с основанием 2, 3, 4, 5, 8.

9. Выполнить операции в заданных системах счисления: 21₍₃₎22₍₃₎; 31₍₄₎23₍₄₎; 100011₍₂₎110011₍₂₎;

10. Выполнить операции деления в заданных системах счисления с точностью до третьего знака после запятой: 21₍₃₎:22₍₃₎; 31₍₄₎ :23₍₄₎; 1110011,1101₍₂₎ :11001₍₂₎ .

11. Выполнить операции в заданных системах счисления: 221₍₃₎ - 22 ₍₃₎; 231₍₄₎+23₍₄₎; 11011₍₂₎ 10011₍₂₎.

12. Выполнить операции в заданных системах счисления: 21₍₃₎ 12₍₃₎; 31₍₄₎ - 123₍₄₎; F1ABA3011₍₁₆₎ - DFAEE19₍₁₆₎; F5₍₁₆₎ 31; AB₍₁₆₎ 92_(16).

13. Найти наибольшее число из заданных: AB₍₁₆₎; 252₍₈₎; 2223₍₄₎; 10101101₍₂₎; 20102₍₃₎.

14. Найти наименьшее число из заданных: AB₍₁₆₎; 251₍₈₎; 2222₍₄₎; 10101101₍₂₎; 20100₍₃₎;

15. Найти наибольшее число из заданных: B,12₍₁₆₎; 13₍₈₎; 23,03₍₄₎; 1011,01₍₂₎; 101,22₍₃₎.

4.2 Хранение данных в эвм

Сегодня ЭВМ является основным инструментом для хранения и обработки информации. ЭВМ может хранить информацию различного типа, обрабатывать различные виды информации, а также делать логическое выводы. ЭВМ хранит информацию в зависимости от ее типа в различных форматах.

Для проведения вычислительных операций компьютер хранит целые числа в двоичной системе в формате со знаком или без знака, вещественные числа в форматах с фиксированной или плавающей запятой, отводя под каждое число определенное количество двоичных ячеек. Хранение логических переменных требует минимального количества двоичных ячеек, т.к. логическая переменная может принимать только значения “да ” или “нет”, т. е. 1 или 0. Хранение символьной, звуковой, видео информации также осуществляется по строго разработанным форматам, которые используются различными программными продуктами, что делает их совместимыми.

Рассмотрим формы и форматы хранения данных, и обработку некоторых видов информации подробнее.

Представление числовых данных в ЭВМ. Элементом для хранения единицы информации является двоичная ячейка, в которой может быть записано либо 0, либо 1. Объем информации, хранимой в такой ячейке, один бит. Восемь таких ячеек, объединенных в группу, позволяет хранить байт (8 бит) информации. Типичным для современных компьютеров объединением таких ячеек является объединение по 4 или 8 байт.

Представление целых чисел. Естественная форма. Используя только один байт, можно записать 2⁸ =256 различных положительных чисел в диапазоне от 0 до 255.

Число	Разряды двоичного числа
0	0	1	1	1	1	1	1	1
127	0	1	1	1	1	1	1	1
255	1	1	1	1	1	1	1	1

Заметим, что все ячейки отданы под представление самого числа. Очевидно, что если первый разряд выделить под знак числа, то в этом же количестве разрядов можно поместить числа в два раза меньшие по модулю, т.е. от –128 до +127, всего 256 чисел. Например, числа –127 и +127 записываются, как указано в таблице (заштрихованный первый разряд обозначает знак числа).

Число	Разряды двоичного числа
127	0	1	1	1	1	1	1	1
-127	1	1	1	1	1	1	1	1

В двух байтах можно расположить расширенный ряд натуральных чисел в диапазоне от 0 до 65535, а целые числа в диапазоне от –32767 до +32767.

В алгоритмических языках введено понятие типа данных. Примерами типов данных являются символы, целые, числа с плавающей точкой. Другие типы данных включают адреса памяти и машинные команды, которые управляют работой компьютера. В языках С++ и Паскаль имеется предопределенный набор типов данных, который позволяет представлять целые числа, числа с плавающей точкой и отдельные символы. Следует отметить, что в некоторых языках (например, в С++) размеры байта и машинного слова различны в разных машинах. Поэтому следует говорить об этих величинах как о машинно-зависимых понятиях.

Существенным недостатком естественной формы представления числа является ограниченный диапазон представления величин. Если результаты вычислений выходят за допустимые пределы, то наступает переполнение разрядной сетки и результат искажается. В персональных ЭВМ обычно производится автоматический переход к представлению данных в нормальной форме.

Представление вещественных чисел в форме с плавающей точкой. Нормализованная форма. Вещественные константы, даже не отличаясь от целых констант по значению, имеют другую форму внутреннего представления в ЭВМ. При операциях с такими константами эта форма требует использования арифметики с плавающей точкой.

В математике форма представления вещественных чисел разнообразна. Любое число можно представить в различной форме записи, например,

A = 125, 25 = 1252510^-3 = 0,1252510³ = 0,001252510⁵.

Поэтому для однозначного понимания представления числа в виде кода ЭВМ необходимо ввести стандарт для записи вещественных чисел. Такой стандарт называется нормализованной формой представления вещественного числа. Любое число в нормальной форме представляется в виде

,

где мантисса числаA, q – основание системы счисления, порядок числаA, причем мантисса должна отвечать условию:

.

Ограничение справа требует, чтобы мантисса представлялась правильной дробью, ограничение слева - чтобы после запятой присутствовала значащая цифра (не 0). Так, число 125,25 представляется в нормализованной форме как 0,1252510 ³.

Значения вещественных типов позволяют определить произвольное число лишь с некоторой точностью, зависящей от внутреннего формата вещественного числа. В таблице представления вещественных типов указано количество знаков в мантиссе, что определяет точность представления числа, и диапазон десятичного порядка, который определяет диапазон чисел, охватываемых данным типом.

Длина в байтах	Название типа в языке Паскаль	Мантисса, значащие цифры	Диапазон десятичного порядка
4	single	7…8	–45…+38
6	real	11…12	–39…+38
8	double	15…16	–324…+308
10	extended	19…20	–4951…+4932

Для представления чисел в нормальной форме используются фиксированные форматы разной длины. Например, для типа длиной в 4 байта в разрядной сетке форматов отводятся места для знака мантиссы (нулевой разряд), знака порядка (первый разряд), значения порядка (6 разрядов, со 2-го по 7-ой), в остальные разряды записывается мантисса числа. В других форматах первый байт не изменяется, а увеличивается область под мантиссу. На рисунке представлена разрядная сетка в формате 4 байта.

Знак	Знак
mA	PA		PA					mA
0	1	2	. .	7	8	9		…		30	31

Формат числа в нормальной форме

Диапазон представления чисел можно оценить по максимальному значению: , где

При двоичном представлении числа:

Представление нормальной формы в ЭВМ имеет следующие особенности:

1. В нормальных форматах 7 разрядов отводится под значение порядка и его знак. Следовательно, числовая ось порядков находится в диапазоне или. Для облегчения действий над порядками делается смещение числовой оси порядков в область положительных значений, где не требуется учитывать знаки порядков. Это смещение равно +2⁶ = 64 = 40₁₆. Смещенный порядок называется характеристикой и обозначается Р_х. Характеристика числа не имеет знака и определяется: .

Теперь характеристика может принимать значения в диапазоне =7F₁₆ и под ее значение отводятся 7 разрядов (2⁷ -1 =127). Очевидно, если Р_х=40₁₆, то Р_А = 0, если Р_х< 40₁₆, то порядок отрицательный (Р_А < 0), при Р_х> 40₁₆ - порядок положительный (Р_А > 0). Если Р_х < 0 или Р_х > 7F₁₆, то значение характеристики пропадает, и результаты искажаются.

2. Мантиссы и порядки чисел выражаются в шестнадцатеричной системе счисления в двоичном виде. Такое представление обеспечивает увеличение диапазона представляемых чисел, т.к. изменение характеристики на 1 приводит к сдвигу мантиссы на одну шестнадцатеричную цифру, т.е. сразу на одну двоичную тетраду (четыре двоичных разряда).

Действительно, если в формулу подставить q = 16, то Таким образом значение порядка увеличилось в 4 раза.

Представим в разрядной сетке формата в 4 байта два числа: А₁₀ = 41006,5 = А₁₆ = А02Е,8 и В₁₀ = –41006,5 = В₁₆ = –А02Е,8. Для этого найдем нормализованные мантиссы и характеристики: m_A = 0,А02Е8, Р_{х A} = 40 + 4= = 44; m_B = –0,А02Е8, Р_{х B} = = 40 + 4 = 44.

Знак числа определяется по первой шестнадцатеричной цифре кода числа.