- •Вейвлетные преобразования сигналов
- •Тема 21. Вейвлетный кратномасштабный анализ
- •Содержание
- •Введение
- •3.1. Принцип кратномасштабного анализа /2/.
- •3.2. Математичские Основы кратномасштабного анализа /2, 3, 5, 14/.
- •3.3. Быстрое вейвлет-преобразование /2, 5, 13/.
- •3.4. Фильтры дуальной декомпозиции и реконструкции сигналов /12/.
- •3.5. Ортогональные и биортогональные вейвлеты /2, 13/.
- •3.6. Двумерные вейвлеты /2, 13/.
- •Литература
3.4. Фильтры дуальной декомпозиции и реконструкции сигналов /12/.
Рассмотренные математические основы дуального вейвлет-преобразования показывают, что основную роль в реализации вейвлетных преобразований играют низкочастотные и высокочастотные фильтры декомпозиции и реконструкции сигналов. Рассмотрим этот вопрос более детально.
Идеальные фильтры. Преобразование Фурье произвольной числовой последовательности
{sk} является 2 - периодической функцией и определяется числовыми значениями на главном частотном диапазоне [-, . При этом полагается, что шаг дискретизации данных t=1, а частота Найквиста сигнала sk равна t = .
Рис. 3.4.1.
H() + G() = 1. (3.4.1)
Отсюда следует, что передаточная функция G() высокочастотного фильтра gn, сосредоточена на [-, -/2] и [, ]. Соответственно, идеальные фильтры H() и G() в пределах главного частотного диапазона задаются выражениями:
H()=,G()=. (3.4.2)
Коэффициенты фильтров (обратное преобразование Фурье, рис. 3.4.2):
h0 = 0.5; h2k = 0, k0; h2k+1 = (-1)k/((2k+1)); k=0, ±1, ±2, ±3,… (3.4.3)
g0 = 0.5; g2k = 0, k0; g2k+1 = (-1)k+1/((2k+1)); k=0, ±1, ±2, ±3,… (3.4.4)
Связь значений коэффициентов:
gn = (-1)n hn. (3.4.5)
Разложение сигнала s(k) на низкочастотную и высокочастотную части в спектральной и временной области:
S() = H()S() + G()S() = Sh() + Sg(). (3.4.6)
s(k) = h(n) ③ s(k-n) + hg(n) ③ s(k-n) = sh(k) + sg(k). (3.4.7)
Так как носитель функции Sh() находится на интервале [-/2, /2], то Sh( можно разложить в ряд Фурье, как - периодическую функцию с частотой Найквиста /2:
Sh2() 2sh(2k) exp(-j 2k), [-/2, /2], (3.4.8)
т.е. функция sh(k) избыточна по количеству отсчетов и может быть децимирована. Соответственно, не требуется вычислять свертку по всем нечетным значениям s(k). Двукратная децимация обычно обозначается индексом 2:
sh2(m) = sh(2k) = h(n) ③ s(2k-n) = С(m),
где m – последовательная нумерация четных отсчетов sh(2k) (m = int(k/2)).
Учитывая периодичность частотных функций, спектр Sg() можно рассматривать на интервале [0, 2], где ненулевые отсчеты Sg() находятся на интервале [/2, 3/2]. При аналогичном разложении Sg() в этом интервале, как - периодической функции:
Sg2() 2sg(2k) exp(-j 2k), [/2, 3/2], (3.4.9)
sg2(m) = sg(2k) = g(n) ③ s(2k-n) = D(m).
Для обратного преобразования спектров Sh2() и Sg2() в спектры Sh() и Sg() главный диапазон спектров нужно увеличить в 2 раза дополнением нулями. Во временной области эта операция может быть выполнена передискретизацией значений sh(2k) и sg(2k) с шага 2k на шаг k рядом Котельникова-Шеннона. Альтернативная более быстрая операция - обратная децимация массивов C(m) C2(k) и D(m) D2(k), которая выполняется дополнением массивов нулями между всеми отсчетами (обозначается индексом 2), с последующей фильтрацией фильтрами 2h(n) и 2g(n):
sh(k) = 2h(n) ③ C2(k-n), sg(k) = 2h(n) ③ D2(k-n), (3.4.10)
что обеспечивает восстановление исходного сигнала:
s(k) = sh(k) + sg(k). (3.4.11)
Реальные фильтры. Операторы идеальных фильтров, заданные в частотной области прямоугольными импульсами (3.4.2), имеют бесконечные импульсные характеристики (3.4.3, 3.4.4) и убывают достаточно медленно. При усечении таких операторов на частотной характеристике проявляется явление Гиббса, что увеличивает погрешности декомпозиции и реконструкции сигналов. С практической точки зрения целесообразно использовать фильтры с плавным переходом от полосы пропускания в полосу подавления, которые имеют конечное число ненулевых коэффициентов. При задании таких низкочастотных H() и высокочастотных G() фильтров, удовлетворяющих условию (3.4.1), разложение сигнала с децимацией остается без изменений. Добавляя к операторам фильтров декомпозиции индекс d, получаем:
s(k) sh(k) = hd(n) ③ s(k-n) 2 C(m) = sh(2k),
s(k) sg(k) = gd(n) ③ s(k-n) 2 D(m) = sg(2k). (3.4.12)
Однако точное восстановление сигналов по формулам (3.4.10, 3.4.11) возможно только для взаимно ортогональных фильтров. Для ограниченных перекрывающихся по спектру фильтров для постановления сигналов необходимы парные к ним фильтры реконструкции, компенсирующие возможные искажения восстановления. Для упрощения выражений для числовых рядов перейдем в z-область представления сигналов.
Hd(z) = hd(n) zn, Gd(z) = gd(n) zn, S(z) = sd(n) zn,
где z = exp(-j) – комплексная переменная.
Отфильтрованные низкочастотный и высокочастотный сигналы:
Cd(z) = Hd(z) S(z), Dd(z) = Gd(z) S(z). (3.4.13)
Децимация сигналов в z-области выполняется простыми выражениями:
C(z2) = 0.5 (Cd(z) + Cd(-z)), D(z2) = 0.5 (Dd(z) + Dd(-z)). (3.4.14)
Обозначим фильтры реконструкции сигналов индексами r. Уравнение реконструкции:
S(z) = 2[Hr(z) C(z2) + Gr(z) D(z2)]. (3.4.15)
Подставляя в это выражение функции (3.4.14) и (3.4.13), получаем:
S(z) = [Hr(z)Hd(z)+Gr(z)Gd(z)]S(z)] + [Hr(z)Hd(-z)+Gr(z)Gd(-z)]S(-z)]. (3.4.16)
Отсюда следует, что искомые фильтры должны удовлетворять системе уравнений:
Hr(z)Hd(z)+Gr(z)Gd(z) = 1,
Hr(z)Hd(-z)+Gr(z)Gd(-z) = 0. (3.4.17)
В матричной форме:
. (3.4.17')
Решение системы существует, если определитель отличен от нуля всюду на единичной окружности z=exp(-j):
Hd(z)Cd(-z) - Hd(-z)Gd(z) 0.
Сопряженные квадратурные фильтры. Дополнительной практической задачей при определении комплекта фильтров декомпозиции и реконструкции сигналов является задание такого фильтра Hd(z) с соответствующими коэффициентами оператора hd(n), из которого следует определение всех других фильтров в форме:
Gd(z) = -z-1 Hd(-z-1), Hr(z) = Hd(z-1), Gr(z) = Cd(z-) = -z H(-z), (3.4.18)
при этом выполняется второе условие (3.4.7), а первое принимает вид:
Hd(z-1)Hd(z)+Hd(-z)Hd(-z-1) = 1. (3.4.19)
Поскольку коэффициенты hd(n) вещественные, то при значениях z=exp(-j) и –z= -exp(-j)= exp(-j(+), имеем:
H(z-1) = H*(), H(-z) = H(+).
При этом условие (3.4.19) и функции (3.4.18)принимают вид:
(Hd(z))2 + (Hd())2 = 1. (3.4.20)
Gd() = -exp(j) Hd*(+), Hr() = Hd*(), Gr() = -exp(-j) Hd(+). (3.4.21)
Тем самым система (3.4.17) сводится к одному уравнению (3.4.20).