3.1. Принцип кратномасштабного анализа /2/.

Дискретные ортогональные преобразования. Непрерывное вейвлет-преобразование, равно как и его прямой дискретный аналог с произвольным шагом по масштабу и сдвигу, несет огромное количество информации о сигнале, но обладает сильной избыточностью. Интуитивно понятно, что если какая-либо информация заключена в N отсчетах сигнала, то при любых преобразованиях сигнала для отображения этой информации без потерь в новом представлении (новом базисном пространстве) должно быть необходимо и достаточно то же самое количество отсчетов N. С учетом принципа неопределенности Гейзенберга это означает, что для точного восстановления сигнала достаточно знать его вейвлет-преобразование на некоторой довольно редкой решетке частотно-временной области, густой в области высоких частот сигнала, и редкой в области низких частот. Идея КМА заключается в том, чтобы масштабировать вейвлет в некоторое постоянное (например, 2) число раз, и при скольжении по сигналу сдвигать его во времени с шагом, равным интервалу носителя масштабированного вейвлета. Если обозначить количество масштабных строк индексом m, и принять N=2^m, то при N=32 решетка вейвлетного спектра будет иметь всего m=5 масштабных строк с количеством отсчетов в первой строке 16, во второй 8, в третьей 4, в четвертой 2, и в пятой 1, с общим количеством отсчетов 32, как и в исходном сигнале. При этом все сдвиги одного масштаба будут попарно ортогональны (нет перекрытия сдвигов), равно как и вейвлеты разных масштабов в силу их нулевого первого момента.

Рис. 3.1.1.

Вейвлет Хаара. Простейшие методы КМА, без всякой теоретической базы, использовались при обработке числовых данных уже достаточно давно. Рассмотрим один из таких методов на практическом примере анализа гистограмм, который обычно выполняется функцией Хаара (Haar), в дальнейшем получившей название вейвлета Хаара (рис. 3.1.1).

Допустим, что мы анализируем определенную зависимость s(x) на интервале 0 ≤ х ≤ 1, показанную на рис. 3.1.2. Функция нецентрированная, и для использования вейвлет-преобразования с последующим восстановлением исходного сигнала требует применения как вейвлета, так и его скейлинг-функции. На основе базовых функций вейвлета и скайлинг-функции Наара, приведенных на рис. 3.1.1, записываем масштабированные функции:

_m,k(x) = 2^m/2 (2^mx-k), (3.1.1)

_m,k(x) = 2^m/2 (2^mx-k). (3.1.2)

Рис. 3.1.2.

Эти функции образуют нормированные взаимно ортогональные базисы пространства вейвлетных коэффициентов, на которые может быть разложен анализируемый сигнал. Ортогональность базисных функций является обязательным условием КМА, обеспечивающим возможность обратной реконструкции сигнала.

Для коротких и достаточно гладких кривых нет смысла устанавливать много уровней декомпозиции сигнала. Примем максимальное значение m, равным 4, при этом N=1/2^m=16 с интервалом дискретизации данных, соответственно, x=1/N. В принципе, можно применять и задание исходного значения x с последующим определением количества уровней разложения.

При сдвиговой ортогональности прямоугольных базисных функций прямое преобразование (проекции сигнала на базис (3.1.1)) для непрерывных сигналов выполняется по формуле:

С_m,k =s(x)(2^mx-k) dx. (3.1.3)

Значения коэффициентов при m=4:

Восстановление сигнала с четвертого уровня декомпозиции соответственно выполняется по формуле реконструкции:

s_r(m,x) =С_m,k _m,k(x), m=4, N=16. (3.1.4)

Восстановление исходной непрерывной функции сигналаs(x) скейлинг-функцией Хаара невозможно в силу того, что значение скейлинг-функции – константа шириной x, на которую умножается соответствующее значение С_4,k и распространяется на весь интервал kx-(k+1)x (кривая s_r(x) на рис. 3.1.2). Если выполнить перевод сигнала s(t) во временной ряд sd_k, k=0…N-1, с осреднением по интервалам x, или с использованием (в общем случае произвольного вейвлета) его скейлин-функции:

sd_k = 2^m/2s(x)_m,k (x) dx, (3.1.5)

то нетрудно убедиться, что sd_k = s_r(kx+x/2) (числовые отсчеты sd_k на рис. 3.1.2 отнесены к середине интервалов x).

В принципе, гистограмма sd_k может представлять собой непосредственные исходные дискретные данные (результаты измерений и т.п.). Сравнением выражений (3.1.5) и (3.1.3) нетрудно убедиться, что нулевой уровень разложения (m=m_max) может быть получен непосредственно из дискретных данных:

С_m,k =sd_k/2^m/2 . (3.1.3')

Рис. 3.1.3.

На следующем уровне разложения функции, при m=3, скейлинг-функция (3.1.1) расширяется по x в 2 раза (в нашем примере до 1/8), т.е. производится усреднение отсчетов по двум соседним интервалам исходной гистограммы. Количество коэффициентов соответственно в 2 раза уменьшается. Расчет коэффициентов С_3,k может выполняться непосредственно по (3.1.3), реконструкция s_r3(x)– по (3.1.4), при m=3, N=8. В принципе, это не дает ничего нового, за исключением аппроксимации исходного сигнала на более "грубом" уровне декомпозиции, на основании чего скейлинг-функции вейвлетов называют также аппроксимирующими или масштабными функциями, а сами коэффициенты, выделенные скейлинг-функциями - аппроксимирующими.

Но при известных значениях коэффициентов С_4,k предшествующего уровня следующий уровень может выполняться непосредственно по ним с учетом изменения нормировочного множителя в формуле скейлинг-функции (3.1.1). В общей форме:

С_m-1,k = (1/) (С_m,2k+ С_m,2k+1). (3.1.6)

С_3,k = {2.665, 13.421, 13.706, 6.948, 20.037, 29.906, 14.538, 2.267}.

Сравнением коэффициентов, вычисленных по формулам (3.1.3) и (3.1.6) можно убедиться в их идентичности.

Кроме аппроксимирующих коэффициентов C_m-1,k из предшествующей гистограммы аппроксимации C_m,k могут быть выделены также коэффициенты изменения сигнала в пределах нового интервала усреднения, т.е. коэффициенты разности значений первой и второй половины интервала:

D_m-1,k = (1/)(C_m,2k - C_m,2k+1), (3.1.7)

которые называют детализирующими коэффициентами.

D_3,k = {-1.571, -2.979, 2.769, -0.625, -5.024, 1.275, 4.853, 1.299}.

Рис. 3.1.4.

На рис. 3.1.4 показан график d_r(3,x) детализирующих коэффициентов (m=3), приведенный к масштабу исходного сигнала по формуле (3.1.4) при m=3 и N=2^m=8, по которому нетрудно понять их физическую сущность. Так как значения сигнала в интервале разложения 2t по m=3 представляют собой среднее значение сигналов в двух интервалах t разложения по m=4, которые они перекрывают, а детализирующий коэффициент (с учетом приведения к масштабу исходного сигнала) равен половине разности сигналов этих двух интервалов, то его значение есть не что иное, как флюктуация сигнала по m=4 относительно его аппроксимации по m=3. Если детализирующий коэффициент отрицателен, то эта флюктуация отрицательна относительно аппроксимированного значения в первой половине его интервала и положительна во второй, и наоборот. Т.е. соответствующие коэффициенты аппроксимации С_m-1,k и детализации D_m-1,k разделяют коэффициенты C_m,k предшествующего уровня декомпозиции сигнала на две части – аппроксимированную (низкочастотную) и флюктуационную (высокочастотную).

Отсюда следует также, что ряды коэффициенты C_m-1,k и D_m-1,k (количество точек 2^m-1 в каждом ряде) содержат полную информацию, адекватную информации в C_m,k предшествующего уровня (количество точек 2^m=2^m-1+2^m-1), что позволяют полностью восстановить значения коэффициентов более высокого уровня m:

C_m,2k = (1/) (C_m-1,k+ D_m-1,k), C_m,2k+1 = (1/) (C_m-1,k - D_m-1,k), (3.1.8)

а, следовательно, и восстановить исходный дискретный сигнал. Для восстановления значений в исходных интервалах при m=4, значение аппроксимирующего коэффициента на первой половине интервала при m=3 складывается с детализирующим коэффициентом, а на второй – вычитается. Для математического отображения этой операции введем функцию , форма которой приведена на рис. 3.1.1, и обеспечим ее сдвиг по координате синхронно со скейлинг-функцией. Эта функция является ортонормированным базисом разложения детализирующих коэффициентов. Именно она в связи со своей формой и получила название вейвлета (вейвлетной или детализирующей функции). С ее использованием уравнение (3.1.4) с входящими в него уравнениями (3.1.8) приводятся к следующей форме (с уровня m=3, 2^m-1 =8):

s_r(3, x) =C_3,k _3,k(x) +D_3,k _3,k(x). (3.1.9)

Как и значения коэффициентов C_m,k, значения детализирующих коэффициентов могут вычисляться непосредственно по формуле (3.1.3) с заменой скейлинг-функции на вейвлет-функцию.

Аналогичным образом операция разделения на аппроксимирующие и детализирующие коэффициенты может быть продолжена над значениями коэффициентов C_3,k по уровню m=2, с выделением коэффициентов аппроксимации C_2,k и детализации D_2,k, и далее по уровням m=1 и m=0. На последнем уровне m=0 получаем только 1 коэффициент аппроксимации C₀ и детализации D₀ по всему интервалу задания сигнала 0 ≤ х ≤ 1. Применяя так же последовательно, начиная с m=0, функцию "сборки" сигнала (3.1.9), получаем общую формулу реконструкции сигнала:

s_r(x)=C₀·₀(x)+D₀·₀(x)+D_1,k·_1,k(x)+D_2,k·_2,k(x)+D_3,k·_3,k(x). (3.1.10)

Свойства преобразования. Отметим на этом примере характерные и очевидные особенности нового представления сигнала:

• Общее количество коэффициентов разложения равно количеству отсчетов исходного сигнала (условие необходимости и достаточности сохранения в новом математическом представлении исходного объема информации).

• Вейвлет и его скейлинг-функция должны иметь однозначную связь. Это определяется тем, что разложение сигнала может быть выполнено с использованием только скейлинг-функции, а детализирующие коэффициенты определяться по разности m и m+1 уровней аппроксимации, и наоборот.

• Значение C₀ представляет собой среднее значение исходного сигнала по интервалу его задания. Для центрированных сигналов это значение равно нулю. При выполнении разложения без скейлинг-функции (с вейвлетом в (3.1.2)) картина детальных особенностей нецентрированных сигналов остается без изменений, но полная реконструкция сигнала невозможна. Без значения C₀·₀(x) при полном разложении сигнал центрируется, при реконструкции с других масштабов декомпозиции искажается за счет отсутствия соответствующих коэффициентов C_m,k.

• Увеличение масштабного значения m разложения соответствует возрастанию временного разрешения сигнала (1/2^m). Коэффициенты вейвлет-преобразования вскрывают флюктуационную структуру сигнала на разных масштабах и в разных временных точках. Приведенный простой пример нетрудно расширить на любой произвольный сигнал с произвольной длительностью и с произвольным временным разрешением, разложение которого может осуществляться до определенного уровня m аппроксимации сигнала по низкочастотным составляющим и с детализацией локальных высокочастотных особенностей сигнала на разных масштабных уровнях. В областях "гладких" значений сигнала коэффициенты детализации близки к нулевым и ими можно пренебречь, что позволяет весьма эффективно осуществлять сжатие информации для хранения.

• Реконструкция сигнала возможна с любого масштабного уровня декомпозиции, причем, как это следует из (3.1.10) и может быть легко проверено, все особенности сигнала сохраняются без искажений с временным разрешением первого вейвлета (с минимальной шириной окна).

При вейвлет-анализе произвольных сигналов выбор анализирующего вейвлета не определен заранее и во многом зависит от поставленных задач.