- •Элементы линейнОй и нелинейнОй
- •Оптимизации
- •Москва, 2005
- •Введение
- •1. Производственная задача или задача планирования
- •2. Типы задач линейного программирования и их преобразование
- •3. Геометрическая трактовка основной задачи
- •4. Методы решения задач линейного программирования
- •4.1. Графический метод
- •4.2. Табличный симплекс-метод решения задачи линейного
- •4.2.1. Метод единичных векторов
- •4.2.2. Расширенная задача и метод искусственного базиса
- •5. Двойственные задачи линейного программирования
- •5.1.Прямая и двойственная задача
- •5.2. Геометрическая интерпретация двойственной задачи. Леммы и теоремы двойственности
- •5.3. Нахождение решений двойственных задач
- •5.4. Параметрическая устойчивость задачи линейного программирования и физическая трактовка двойственной задачи
- •6. Транспортная задача линейного программирования
- •6.1. Математическая постановка задачи
- •6.2. Нахождение опорного плана транспортной задачи
- •6.3. Оценка опорного плана транспортной задачи на оптимальность
- •7. Элементы теории игр
- •7.1. Предмет теории игр
- •7.2. Терминология и классификация игр
- •7.4. Смешанные стратегии
- •7.5. Геометрический метод решения игр
- •II. Нелинейное программирование
- •1. Задачи нелинейного программирования
- •2. Геометрическая интерпретация задач
- •3. Некоторые проблемы решения задач нелинейного
- •4. Решение задач условной оптимизации методом Лагранжа
- •5. Градиентные методы решения задач динамического
- •5.1. Метод наискорейшего спуска
- •5.2. Метод штрафных функций
- •5.3. Симплекс-метод поиска глобального экстремума
- •Контрольные вопросы к курсу «Методы оптимизации»
5.3. Симплекс-метод поиска глобального экстремума
Метод предназначен для поиска глобального или локального экстремума и суть его заключается в следующем. В горизонтальной плоскости параметров методами аналитической геометрии создается модель равностороннего треугольника abc – симплекса, рис. 22.
Рис.22. К обоснованию симплекс-метода для поиска экстремума
Размер симплекса, определяемый длиной стороны, выбирается произвольно. Первоначальное его положение также не имеет принципиального значения. Главное условие – все его вершины должны проецироваться на поверхность отклика функции цели . Процесс итерации заключается в следующем.
Рассчитывают значения функционала во всех точках – проекциях вершин симплекса на поверхность отклика функции цели:
, , .
Производят количественное сравнение полученных значений
функционала.
Если ищется максимальное значение функции цели, то из
анализируемых значений выбирается наименьшее .
На плоскости строят второе положение симплекса путем
поворота предыдущего относительно той стороны треугольника,
которая расположена против вершины, имеющей проекцию с
минимальным значением функции цели.
Повторяют действия по п.п. 1-4 (перемещения симплекса на рис.22 показаны под номерами итерационных шагов) до тех пор, пока симплекс не начнет совершать периодические перемещения. Они могут быть двух типов: систематический поворот относительно одной из сторон (позиции 8-9, рис.22), вращение вокруг какой-либо точки (например, точки D).
При появлении в поведении симплекса повторяемости в положениях следует уменьшить размер стороны симплекса и, взяв за базу одно из положений симплекса, продолжить вычисления.
Действия по п.п.1-6 повторяют до тех пор, пока размер стороны симплекса не достигнет заданной минимальной величины.
Определяют значение функции цели и оптимальный план по координатам той вершины симплекса в его окончательном положении, для которой значение функционала будет максимальным.
Из описанного алгоритма метода видно, что для него характерен большой объем вычислительных операций. Поэтому реализация такого метода безусловно предпочтительно выполнять с привлечением вычислительной техники. При этом построение программного алгоритма и организация вычислений не могут вызвать больших затруднений. Тем не менее симплекс-метод может быть очень эффективен для многих приложений.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. - М.: Изд. Факториал Пресс,
2002 г. - 824 с.
2. Михеев С.Е. Нелинейные методы в оптимизации. - СПб.: Изд. СПб.
Университета, 2001 г. - 270 с.
3. Черноруцкий И. Методы оптимизации и принятия решений. - СПб.:
Издательство ЛАНЬ, 2001г. - 383 с.
4. Фрольнис. Введение в теорию и методы оптимизации. - СПб.:
Изд. Питер, 2002г. - 320 с.
Mathcad 6.0 Plus. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде
Windows 95, / Пер. с англ. - СПб.: Изд. Питер, 2003г. - 345 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ