- •Элементы линейнОй и нелинейнОй
- •Оптимизации
- •Москва, 2005
- •Введение
- •1. Производственная задача или задача планирования
- •2. Типы задач линейного программирования и их преобразование
- •3. Геометрическая трактовка основной задачи
- •4. Методы решения задач линейного программирования
- •4.1. Графический метод
- •4.2. Табличный симплекс-метод решения задачи линейного
- •4.2.1. Метод единичных векторов
- •4.2.2. Расширенная задача и метод искусственного базиса
- •5. Двойственные задачи линейного программирования
- •5.1.Прямая и двойственная задача
- •5.2. Геометрическая интерпретация двойственной задачи. Леммы и теоремы двойственности
- •5.3. Нахождение решений двойственных задач
- •5.4. Параметрическая устойчивость задачи линейного программирования и физическая трактовка двойственной задачи
- •6. Транспортная задача линейного программирования
- •6.1. Математическая постановка задачи
- •6.2. Нахождение опорного плана транспортной задачи
- •6.3. Оценка опорного плана транспортной задачи на оптимальность
- •7. Элементы теории игр
- •7.1. Предмет теории игр
- •7.2. Терминология и классификация игр
- •7.4. Смешанные стратегии
- •7.5. Геометрический метод решения игр
- •II. Нелинейное программирование
- •1. Задачи нелинейного программирования
- •2. Геометрическая интерпретация задач
- •3. Некоторые проблемы решения задач нелинейного
- •4. Решение задач условной оптимизации методом Лагранжа
- •5. Градиентные методы решения задач динамического
- •5.1. Метод наискорейшего спуска
- •5.2. Метод штрафных функций
- •5.3. Симплекс-метод поиска глобального экстремума
- •Контрольные вопросы к курсу «Методы оптимизации»
5.3. Нахождение решений двойственных задач
Практическая ценность наличия пары двойственных задач многозначна. Прежде всего с точки зрения методики решения ЗЛП приемнение двойственной задачи позволяет в отдельных случаях упростить решение и в частности свести его к графическому построению. Например, если:
а) количество неизвестных в прямой задаче более двух;
б) количество ограничений в прямой задаче равно двум,
то такая задача не может быть решена графически. Однако она будет иметь двойственную задачу типа:
а) количество неизвестных в двойственной задаче равно двум;
б) количество ограничений в двойственной задаче более двух,
и такая задача может быть решена графическим методом. Однако в этом случае можно получить только значение функции цели, но оптимальный план прямой задачи получить таким методом нельзя.
Независимо от структуры задач как прямой, так и двойственной, имеется возможность, решая первую, получить одновременно решение и второй. Не останавливаясь на теоретических положениях, рассмотрим методику поиска решений двойственной пары. Для этого рассмотрим следующий пример.
З а д а ч а 10. Для задачи, состоящей в определении максимального значения функции
при условиях ,
,
,
.
Составить двойственную задачу и найти ее решение.
Заметим, что эта задача уже рассматривалась выше при обосновании метода решения ЗЛП с помощью симплекс-таблицы (см. задачу 5).
Р е ш е н и е. Двойственная задача по отношению к исходной состоит в нахождении минимума функции
при шести ограничениях ,
,
,
, , .
Воспроизведем конечную симплекс-таблицу решения прямой задачи.
Таблица 12
Симплекс-таблица к задаче 10
i |
Базис |
Сб |
Р0 |
С1=9 |
С2=10 |
С3=16 |
С4=0 |
С5=0 |
С6=0 |
ti |
Р1 |
Р2 |
Р3 |
Р4 |
Р5 |
Р6 | |||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
1 2 3 4 5 |
Р2 Р3 Р6 zj ∆j |
10 16 0 |
8 20 96 400 |
1 1/4 5/4 14 5 |
1 0 0 10 0 |
0 1 0 16 0 |
1/9 -1/18 -1/6 2/9 2/9 |
-1/6 5/24 -1/8 5/3 5/3 |
0 0 1 0 0 |
|
Прямая задача на первом этапе имела три единичных вектора Р4, Р5, Р6, (т.е. в базис входили переменные х4, х5, х6). Заметим также, что количество базисных переменных при решении прямой задачи всегда равно количеству ограничений, а соответственно всегда равно количеству неизвестных в двойственной задаче.
Как известно, прямая задача имела оптимальный план Х*=(0;8;20;0;0;96), а функция цели принимала значение
.
Двойственная задача будет иметь следующее решение:
, , ,
а функция цели будет равна:
.
П р а в и л о. Если среди векторов Р1; Р2; …; Рn+k , составленных из коэффициентов при неизвестных в системе уравнений в прямой задаче имеется m единичных, то оптимальный план двойственной задачи – это значения чисел zj в столбцах первичных единичных векторов, а функция цели двойственной задачи равна значению функции цели прямой задачи.
Для рассмотренной задачи:
, , ,
чьи числовые значения в табл.12 выделены жирно.