1.3. Формулы логики высказываний. Равносильность формул

Определение 1.2. Формула логики высказываний определяется индуктивно следующим образом:

1. Любая высказывательная переменная, а также константы И, Л есть формула.

2. Если A и B – формулы, то А, AÚB, A&B, АB, АB есть формулы.

3. Ничто, кроме указанного в пунктах 1 – 2, не есть формула.

Две формулы называются равносильными, если на всех одинаковых наборах переменных значения этих формул совпадают.

Равносильность формул A и B будем обозначать следующтм образом: A  B.

Для того, чтобы установить равносильность формул, можно составить таблицы значений для каждой формулы и сравнить их. Для равносильных формул эти таблицы совпадают. Другой способ установления равносильности формул заключается в использовании некоторых установленных равносильностей формул логики высказываний.

При доказательстве равносильности формул можно использовать принцип двойственности.

Символы &, Ú называются двойственными.

Формула F^* называется двойственной формуле F, если она получена из F одновременной заменой всех символов &, Ú на двойственные.

Например, F = AÚ (B&C);

F^* = A & (BÚ C).

Принцип двойственности.

Если F G, то F^* G^

Все законы равносильности, имеющие место для формул булевых функций, справедливы и для формул логики высказываний, причем единице соответствует истинностное значение И, а нулю – Л. Приведем эти законы.

Для любых формул A, B, C справедливы следующие равносильности:

1. Коммутативность.

а) A&B B&A (для конъюнкции);

б) AÚB  BÚA (для дизъюнкции).

2. Ассоциативность.

а) A&(B&C)  (A&C)&C (для конъюнкции);

б) AÚ (BÚC)  (AÚB)ÚC (для дизъюнкции).

3. Дистрибутивность.

а) A&(BÚC)  A&BÚA&C (для конъюнкции относительно дизъюнкции);

б) AÚ(B&C)  (AÚB)&(AÚC) (для дизъюнкции относительно конъюнкции).

4. Закон де Моргана.

а) (A&B) ÚB (отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний);

б) (AÚB) A& B (отрицание дизъюнкции есть конъюнкция отрицаний).

5. Идемпотентность.

а) A&A  A (для конъюнкции);

б) AÚA  A (для дизъюнкции).

6. Поглощение.

а) A&(AÚB)  A (1– ый закон поглощения);

б) AÚA&B  A (2– ой закон поглощения).

7. Расщепление (склеивание).

а)A&B Ú A&(B)  A (1–ый закон расщепления);

б) (AÚB) & (AÚB)  A (2–ой закон расщепления).

8. Двойное отрицание.

(A)  A.

9. Свойства констант.

а)A&И  A; б) A&Л  Л; в)AÚИ  И; г) AÚ Л  A; д) Л И; е) И Л.

10. Закон противоречия.

A& A  Л.

11. Закон “исключенного третьего”.

AÚA  И.

12. AB AÚB (A&B).

13. A~B  (AB)&(BA)  (A&B) Ú (A& ¬B) АÚB)&( AÚB).

Каждая из перечисленных равносильностей может быть доказана с помощью таблиц значений функций, составленных для выражений, стоящих слева и справа от символа “”.

Справедливы также обобщенные законы дистрибутивности и обобщенные законы де Моргана:

14. (A₁ÚA₂Ú...ÚA_n)&(B₁ÚB₂Ú...ÚB_m) 

A₁&B₁ÚA₁&B₂Ú...ÚA₁&B_mÚ...ÚA_n&B₁ÚA_n&B₂Ú...ÚA_n&B_m.

15. (A₁&A₂&...&A_n) Ú (B₁&B₂&...&B_m) 

(A₁ÚB₁)&(A₁ÚB₂)&...&(A₁ÚB_m)&...&(A_nÚB₁)&(A_nÚB₂)&...&(A_nÚB_m).

16. (A₁&A₂&...&A_n) A₁ÚA₂Ú...ÚA_n.

17. (A₁ÚA₂Ú...ÚA_n) A₁&A₂&...&A_n

В равносильностях 1 – 17 в качестве A, B, A_i, B_i могут быть подставлены любые формулы и, в частности, переменные.

Пример 1.9.

Доказать равносильность формул логики высказываний:

(АB) & (A Ú B)  B.

Преобразуем левую часть, последовательно используя равносильности 12, 14, 10, 5а, 9г, 6б:

(АB) & (A Ú B) А Ú B) & (A Ú B) А & A Ú А &B Ú B & А Ú B & B  А &B Ú B &А Ú B  B.

Равносильность доказана.