Основы программирования. Борисенко

Начальные значения этих переменных обеспечивают выполнение ин¬ варианта:

Условием завершения цикла, как и в обычном алгоритме Евклида, является равенство нулю переменной b:

<3(а, b, u 1 , v1, u2, v2) : b = 0.

Осталось написать тело цикла, сохраняющее инвариант и уменьша¬ ющее абсолютную величину переменной b. Это нетрудно сделать, исходя из инварианта цикла. В обычном алгоритме Евклида пара (а, b) заменяется на (b, r) , где r — остаток от деления а на b.

а = qb + r, |r| < |b|.

Здесь q равняется целой части частного от деления а на b. Заме¬ тим, что в программировании, в отличие от школьной математики, операция взятия целой части перестановочна с операцией изменения знака:

Используя инвариант цикла, можно выразить r через исходные числа m и n:

r = а — qb = ( u 1 m + v 1 n ) — q ( u 2 m + v 2 n ) = = (u1 — qu2)m + (v1 — qv2)n.

Идея алгоритма состоит в том, чтобы поделить отрезок пополам и выбрать ту половину отрезка, на которой функция принимает значе¬ ния разных знаков. Эта операция повторяется до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше, чем е.

Пусть концы текущего отрезка хранятся в переменных ж0 , ж1 . Инвариантом цикла является утверждение о том, что функция при¬ нимает значения разных знаков в точках ж0 , ж1 :

/(жо,ж1) : /(жо) • /(ж1) < 0.

Условием завершения цикла является утверждение о том, что длина отрезка меньше е:

<3(ж0, ж1 ) : |ж1 — ж0 | < е

(знак модуля используется потому, что в условии задачи не требуется

| ответ := (x0 + x1) / 2; конец алгоритма

З а д а чи по теме «Построение цикла с помощью инварианта»

1.По аналогии с алгоритмом быстрого возведения в степень, со¬ ставить алгоритм быстрого вычисления произведения двух це¬ лых чисел, использующий лишь операции сложения, вычита¬ ния, удвоения и деления пополам. Пусть надо вычислить про¬ изведение чисел а и n. В качестве инварианта цикла использо¬ вать условие

b • k + p = а • n = const,

где b, k, p — целочисленные переменные, которые меняются в теле цикла.

2.Определить, что вычисляется в результате данного фрагмента программы:

дано: целые числа а >= 0, b > 0

конец цикла

Глава 2

Устройство компьютера

Компьютер — это универсальный исполнитель, который умеет управлять другими исполнителями и обладает собственной внутрен¬ ней памятью. Запись алгоритма для компьютера называется про¬ граммой. Все современные компьютеры построены по так называе¬ мой фон-Неймановской архитектуре: программа хранится в памяти компьютера, так ж е как и данные.

Компьютер построен из следующих составных частей:

п р о ц е сс ор — это основа любого компьютера, его мозг. Процессор производит все вычисления и отдает команды всем остальным компонентам компьютера;

оперативная память также является обязательной составной ча¬ стью любого компьютера. Оперативная память ( R A M — Random Access Memory) хранит как программу, так и данные (т.е. значения переменных). Часть памяти может быть защище¬ на от записи и хранится в специальной микросхеме (ПЗУ — постоянное запоминающее устройство или R O M - Read Only Memory). Обычно в П З У л е ж и т программа первоначальной за¬ грузки и базовая система ввода-вывода (BIOS);

шина — это канал передачи команд и данных между всеми со¬ ставными частями компьютера. В компьютере могут быть одна или несколько шин. Все устройства подключаются к шине па¬ раллельно, т.е. порядок подключения не важен, а количество

работы шины, т.е. четко описанным набором соглашений, при¬ нятым, как правило, в виде международного стандарта. Каждое устройство подключается к шине с помощью контроллера, ко¬

внешние устройства подключаются к шине компьютера. Наиболее распространенные внешние устройства — это жесткий диск, клавиатура, монитор, сетевая карта, модем и т.п. Н и одно из них не является обязательным, как показывает пример копьютера, управляющего автомобильным двигателем со впрыском топлива. Но какие-то внешние устройства всегда присутству¬ ют, поскольку через них осуществляется связь компьютера с внешним миром.

Рассмотрим к а ж д у ю из составляющих частей компьютера более подробно.

2.1.Оперативная память

Элементарной единицей памяти всех современных компьютеров является байт, состоящий из восьми двоичных разрядов. Каждый байт имеет свой адрес. В наиболее распространенной 32-разрядной архитектуре адреса байтов изменяются от 0 до 2 3 2 — 1 с шагом 1. Память, с логической точки зрения, можно рассматривать как мас¬ сив байтов: можно прочесть или записать байт с заданным адресом. Содержимое байта трактуется либо как неотрицательное целое чис­ ло в диапазоне от 0 до 255, либо как число со знаком в диапазоне от —128 до 127. (На самом деле байт — это элемент кольца вычетов по модулю 256, см. раздел 1.4.1.)

Однако, физически при работе с памятью по шине передаются не отдельные байты, а машинные слова. В 32-разрядной архитектуре машинное слово — это четыре подряд идущих байта, при этом ад¬ рес младшего байта кратен четырем. (В 64-разрядной архитектуре машинное слово состоит из восьми байтов.) М а ш и н н о е слово — это наиболее естественный элемент данных для процессора. М а ш и н н о е

слово содержит целое число, которое можно рассматривать либо как

Существуют два способа нумеровать байты внутри машинного слова. В соответствии с этим все процессоры разделяются на два

ка. К концу 70-х годов программисты осознали, что Little Endianархитектура гораздо удобнее. Например, один из аргументов в пользу Little Endian заключается в том, что целое число, занимающее ма¬ шинное слово с адресом n, и байт с тем ж е адресом содержат одно и то ж е значение (конечно, если оно не превышает 255). В случае B i g Endian это не так: например, если целое число с адресом n содержит число 17, то байт с адресом n содержит 0; или если целое число со¬ держит отрицательное значение —77, то байт с адресом n содержит отрицательное значение —1. При небрежном программировании это порождает массу ошибок. Поэтому большинство современных про¬ цессоров построены по архитектуре Little Endian.

Тем не менее многие компьютерные протоколы ориентируются на Big Endian, поскольку они были приняты достаточно давно. Напри-

2.2.Процессор

Процессор является основой любого компьютера. Это большая микросхема, содержащая внутри себя сотни тысяч или д а ж е милли¬ оны элементов. Современные процессоры чрезвычайно сложны и мо¬ гут содержать несколько уровней построения и описания. Так, можно различать внешние команды процессора в том виде, в котором они

команд. Процессор может содержать внутри себя устройства, пред¬ назначенные дл я ускорения работы, — конвейер команд, устройство опережающей выборки из памяти, кеш-память и т.п.

Рассмотрим лишь самые общие принципы построения и работы процессора, которые одинаковы как для примитивных, так и для са¬ мых современных процессоров.

Любой процессор имеет устройство, выполняющее команды, и собственную внутреннюю память, реализованную внутри микросхе¬ мы процессора. Она называется регистрами процессора. Имеется 3 типа регистров:

о б щ ие регистры хранят целые числа или адреса. Размер общего ре¬ гистра совпадает с размером машинного слова и в 32-разрядной архитектуре равен четырем байтам. Число общих регистров и их назначение зависит от конкретного процессора. В большин¬ стве Ассемблеров к ним можно обращаться по именам R0, R1, R2, . . . Среди общих регистров имеются регистры специального

регистр флагов содержит биты, которые устанавливаются в едини¬ цу или в ноль в зависимости от результата выполнения по¬ следней команды. Так, бит Z устанавливается в единицу, если