Основы программирования. Борисенко

лов большинство языков программирования предоставляет конструк¬ цию арифметического цикла. В нем используется так называемая переменная цикла, т.е. целочисленная переменная, которая последо¬ вательно принимает значения в указанных пределах. Д л я каждого значения переменной цикла выполняется тело цикла, в котором эта

также конструкция арифметического цикла с шагом s, отличным от единицы:

Шаг может быть и отрицательным, в этом случае b должно быть не больше, чем a, иначе цикл не выполняется ни разу.

В принципе, без конструкции арифметического цикла можно обойтись, поскольку ее можно смоделировать с помощью цикла "по­ ка". А именно, конструкция

цикл для i от a до b

Однако, традиционно арифметический цикл включается в большин¬

Аналогично можно переписать и другие приведенные выше алгорит¬ мы вычисления функций на последовательностях. Приведем также пример использования арифметического цикла с отрицательным ша¬ гом. Пусть коэффициенты многочлена заданы по возрастанию, а не по убыванию степеней. В схеме Горнера следует просматривать ко­ эффициенты многочлена от старшего к младшему. Д л я этого удобно использовать арифметический цикл с отрицательным шагом:

ииндуктивные расширения

Врассмотренных выше примерах при добавлении к последова¬ тельности еще одного элемента новое значение функции на после¬ довательности можно было вычислить, зная только старое значение

длины n. С помощью знака & обозначим операцию приписывания нового элемента справа к последовательности (ее называют т а к ж е конкатенацией):

Sn+i = S n & a n = {ЙО, a i , . . . , Й П - 1 , ЙП}.

Пусть / (S ) — некоторая функция на множестве последовательно­ стей, например, сумма элементов последовательности. Ф у н к ц и я на¬ зывается индуктивной, если при добавлении нового элемента к по¬ следовательности новое значение функции можно вычислить, зная только старое значение функции и добавленный элемент. На мате¬ матическом языке функция

/ : W - Y,

где W — множество всех последовательностей, составленных из эле­ ментов некоторого множества X , индуктивна, если существует функ­ ция G от двух аргументов

/(S & a) = G ( / ( S ) , a ) .

Фу н к ц и я G по паре (y,a), где y — старое значение функции / на последовательности S и a — элемент, добавленный к последователь¬ ности, вычисляет новое значение y, равное значению функции / на новой последовательности.

Впримере с суммой элементов последовательности функция G равна сумме элементов y и a:

G ( y , a ) = y + a.

В примере со схемой Горнера вычисления значения многочлена в точке t, где коэффициенты многочлена заданы в последовательности по убыванию степеней, функция G равна

G(y, a) = yt + a.

Во всех трех случаях рассматриваемая функция на последовательно¬ сти индуктивна.

О б щ а я схема вычисления значения индуктивной функции на по¬ следовательности выглядит следующим образом:.

конец алгоритма

Таким образом, для каждой конкретной индуктивной функции надо лишь правильно задать ее значение на пустой последовательности (инициализация) и определить, как новое значение функции вычис¬ ляется через старое при добавлении к последовательности очеред¬ ного элемента, т.е. задать функцию G ( y , x ) . Схема вычисления для всех индуктивных функций одна и та же .

Однако, не все функции на последовательностях являются ин­ дуктивными. Рассмотрим следующий пример. Пусть коэффициенты многочлена заданы в последовательности по убыванию степеней. На­ до вычислить значение производной многочлена в точке x = 2. Обо¬ значим через

S = {ЙО, a i , . . . , a „ |

последовательность коэффициентов многочлена

p(x) = a 0 x n + a 1 x n — 1 + . . . + an

и через / ( S ) значение производной многочлена p'(x) в точке x = 2:

/ ( S ) = Р'(2).

Покажем, что функция / не индуктивна. Достаточно указать две

/ ( S i ) = / (S2),

/ ( S i & a) = /(S2 & a).

Возьмем последовательности

Значения обеих производных в точке x = 2 равны нулю, т.е.

Припишем теперь к обеим последовательностям элемент a = 1:

не индуктивна. Индуктивная функция

F : W — Z

называется индуктивным расширением функции / , если существует отображение

P : Z — Y

такое, что для всякой последовательности S, принадлежащей W , вы¬ полняется равенство

/ ( S ) = P ( F ( S ) )

Как построить индуктивное расширение функции / ? Это творче¬ ский момент, готового рецепта на все случаи не существует. Нефор¬ мальный рецепт следующий: надо понять, какой информации не хва¬ тает для того, чтобы уметь вычислять новое значение последова¬ тельности при добавлении к ней нового элемента. Эту информацию надо хранить дополнительно к значению последовательности. Отсю¬ да и появился термин «расширение»: вычисляется более сложная, расширенная, функция, чтобы по ней затем восстановить исходную. Как правило, значением индуктивного расширения F является пара (y, h), где y — значение исходной функции / , а h — некоторая допол­ нительная информация, позволяющая перевычислять значение y при добавлении нового элемента к последовательности. Таким образом,

чаще всего является множеством пар (y,h), т.е. декартовым произ¬ ведением:

Z = Y х Я .

Отображение P на практике должно легко вычисляться. Так оно и есть в случае декартого произведения — это просто проекция на первый аргумент.

P ( У , h) = y.

Рассмотрим пример с вычислением производной многочлена в точке; коэффициенты многочлена заданы в последовательности по убыванию степеней. При добавлении к последовательности

Дифференцируя это равенство, получим:

Pk+i(x) = Pk (x) • x + pk.

М ы видим, что для вычисления нового значения производной нужно знать старое значение производной, а также старое значение много¬ члена. Следовательно, дополнительно к значению производной мно¬ гочлена надо хранить еще значение самого многочлена. Таким обра¬ зом, индуктивным расширением функции, равной производной мно¬ гочлена в точке t, является пара (значение производной, значение многочлена):

F : S — (P(t),P(t)).

Новое значение производной вычисляется по приведенной выше фор¬ муле через старое значение производной и старое значение много¬ члена. После этого вычисляется новое значение многочлена по схеме Горнера.

Выпишем алгоритм вычисления производной многочлена.

вещ алг. значение производной(вх: цел n, вещ a[n+1], вещ t)

| надо: найти значение производной многочлена в точке t

конец алгоритма

Другой пример неиндуктивной функции — это среднее арифме¬ тическое значение элементов последовательности. Индуктивным рас¬ ширением является пара (сумма элементов последовательности, дли¬ на последовательности):

F (S) = ( с у м м а ^ ) , д л и н а ^ ) ) .

Легко видеть, что функция F индуктивна. При известном значении функции F не составляет труда вычислить исходную функцию:

среднее а р и ф м е т и ч е с к о е ^ ) = с у м м а ( S ) / д л и н а ( 5 ) .

В данном случае отображение P не является в чистом виде проек¬ цией, т.к. в процессе вычислений удобнее хранить сумму элементов прочитанного отрезка последовательности, а не среднее арифметиче¬ ское. Вычисления проще и, кроме того, сумма определена на пустой последовательности в отличие от среднего арифметического.

Итак, в каждом конкретном случае при вычислении неиндуктив¬

За д а чи по теме «Индуктивные ф у н к ц и и »

1.Указать, какие из нижеперечисленных функций на последо¬ вательностях являются индуктивными. В каждом случае надо привести доказательство индуктивности или неиндуктивности функции. Д л я неиндуктивных функций построить их индук¬ тивные расширения:

—произведение элементов последовательности;

—число максимальных элементов последовательности;

—число локальных максимумов последовательности (эле¬ мент является локальным максимумом, если он не меньше своих соседей);

—сумма первого и последнего элементов последовательно¬ сти;

—число перемен знака в последовательности;

—значение многочлена, коэффициенты которого заданы по возрастанию степеней, в точке x = 1;

— та ж е задача при x = —1;

—вторая производная многочлена, коэффициенты которого заданы по убыванию степеней, в точке x = 2.