§ 2.2 Пружинный, математический и физический маятники
Пружинный маятник – это грузик массы m на пружине жёсткости k (рис 2.5). Второй закон Ньютона для вертикальных колебаний грузика
k x m
Рис. 2.5 |
, |
(2.16) |
где F = -kx – возвращающая сила, т.е. равнодействующая силы тяжести грузика и сила упругости пружины
,
отсюда
Из (2.5) и (2.6) получаем период колебаний пружинного маятника
|
(2.17) |
Математический маятник – это материальная точка на невесомой и нерастяжимой нити длиной (рис. 2.6). При гармонических колебаниях смещение маятника от положения равновесия х много меньше длины нити х <<, поэтому для угла отклонения нити от вертикалиимеет место соотношение
FH F
x mg
Рис. 2.6 |
ma = F
, |
(2.18) |
где - ускорение точки,
F = mg sin =mg - возвращающая сила. Знак минус в правой части (2.18) означает, что возвращающая сила направлена противоположно смещению х.
Таким образом, дифференциальное уравнение гармонических колебаний математического маятника
(2.19) |
Сравнивая (2.19) c (2.7) и учитывая (2.6), получаем период колебаний математического маятника
(2.20) |
Физический маятник – это абсолютно твёрдое тело, совершающее колебания относительно горизонтальной оси О, не проходящей через центр масс маятника С (рис. 2.7). Основное уравнение динамики вращательного движения для маятника
Jε = M, |
(2.21) |
где J – момент инерции маятника относительно горизонтальной оси проходящей через точку О.
О
С
φ mg
Рис. 2.7 |
ε |
(2.22) |
Момент силы тяжести маятника относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О
M = mgd sinφ, |
(2.23) |
где m – масса маятника
d = CO – расстояние от оси до центра масс маятника С.
При малых углах отклонения маятника от вертикали можно считать, что
(2.24) |
Подставляя (2.22), (2.23) с учётом (2.24) в выражение (2.21), получаем
(2.25) |
Минус означает, что момент возвращающей силы противоположен угловому перемещению. Отсюда получаем
(2.26) |
Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний физического маятника. Из сравнения (2.26) и (2.7), находим период колебаний физического маятника
(2.27) |
Сопоставляя (2.27) и (2.20), находим приведенную длину физического маятника
(2.28) |
- это длина нити математического маятника, у которого период колебаний совпадает с периодом данного физического маятника.
§ 2.5 Затухающие колебания
При наличии трения энергия и, следовательно, амплитуда колебаний уменьшается. В случае малых колебаний величина силы трения пропорциональна скорости
, (2.39)
где - скорость колеблющегося тела,
- коэффициент трения.
Знак минус показывает, что сила трения направлена противоположно скорости.
Уравнение 2-го закона Ньютона для колеблющегося тела при наличии трения
. (2.40)
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
, (2.41)
где величина
(2.42)
называется коэффициентом затухания, аопределяется из (2.5).
При малом затухании решение уравнения (2.41) имеет вид
, (2.43)
где величина
, (2.44)
называется частотой затухающих колебаний, а
, (2.45)
является амплитудойзатухающих колебаний.
На рис.2.16 представлен графикзатухающих колебаний, где- смещение колеблющегося тела от положения равновесия. Пунктиром показано изменение амплитуды колебаний со временем.
Рассмотрим две последовательные амплитуды колебаний и(рис.2.16), отличающиеся по времени на- период колебаний. Из (2.45) получаем
Найдем величину
(2.46)
- логарифмический декремент затухания.
Формула (2.46) показывает связь между логарифмическим декрементом и коэффициентом затухания. Отметим, чтохарактеризует время, а- число периодов, через которое амплитуда колебаний уменьшается враз, где- основание натурального логарифма.
При больших затуханиях частота затухающих колебаний(2.44) становится мнимой, и в системе происходитапериодическийпроцесс, т.е. при отклонении от положения равновесия тело возвращается в него по экспоненциальному закону (рис.2.17).